Prove que se
é ortogonal a
e
é ortogonal a
, então
é ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se o vetor
é ortogonal a
e o vetor
é ortogonal a
, então o vetor
é ortogonal a
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo vetores e o conceito de ortogonalidade usando o produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como utilizar o produto escalar na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for igual a zero. Ou seja, se
, então
é ortogonal a
.
Passo 3
Dado que
é ortogonal a
, podemos escrever:
Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Então, temos:
Passo 4
Da mesma forma, sabemos que
é ortogonal a
, então:
Expandindo:
Ou seja:
Passo 5
Agora, observamos que
e
. Como o produto escalar é comutativo,
e
. Portanto, temos:
Isso implica que:
Fatorando
:
Passo 6
Novamente, se dois vetores têm produto escalar igual a zero, eles são ortogonais. Assim,
é ortogonal a
. Mas queremos provar que
é ortogonal a
. Vamos reescrever:
Isso confirma que
é ortogonal a
.
Resposta
Portanto,
é ortogonal a
.