Prove que se u é ortogonal a v-w e v é ortogonal a w-u, então w é ortogonal a u-v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se o vetor é ortogonal a e o vetor é ortogonal a , então o vetor é ortogonal a . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo vetores e o conceito de ortogonalidade usando o produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como utilizar o produto escalar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for igual a zero. Ou seja, se , então é ortogonal a .

Passo 3

Dado que u cdot (v - w) = 0 é ortogonal a u cdot v - u cdot w = 0 , podemos escrever:
u cdot v = u cdot w
Vamos expandir esse produto usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Então, temos:

Passo 4

Da mesma forma, sabemos que v cdot (w - u) = 0 é ortogonal a v cdot w - v cdot u = 0 , então:
v cdot w = v cdot u
Expandindo:
Ou seja:

Passo 5

Agora, observamos que w cdot u = v cdot u e w cdot u - v cdot u = 0 . Como o produto escalar é comutativo, (w - v) cdot u = 0 e . Portanto, temos:
Isso implica que:
Fatorando :

Passo 6

Novamente, se dois vetores têm produto escalar igual a zero, eles são ortogonais. Assim, w cdot (u - v) = 0 é ortogonal a . Mas queremos provar que é ortogonal a . Vamos reescrever:
Isso confirma que é ortogonal a .

Resposta

Portanto, é ortogonal a .

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