Prove que:
(u wed>= v) wed>=(w wed>= t)=[(u wed>=(v) cdot t] w-[(u wed>= v) cdot w)] t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
(u times v) times (w times t) = l((u times v) cdot tr),w - l((u times v) cdot wr),t
O conteúdo que vamos usar é a conhecida fórmula “bac–cab” para produto vetorial.

Passo 2

Para quaisquer vetores a,b,cinR^3 vale
a times (b times c) = b,(a cdot c) - c,(a cdot b)
Essa identidade pode ser demonstrada por componentes (usando o símbolo de Levi-Civita), mas aqui a tomamos como conhecida.

Passo 3

Basta escolher
a = utimesv,
b = w e
c = t
na fórmula acima. Assim obtém-se
(utimesv) times (wtimest) = w,l((utimesv)cdottr) - t,l((utimesv)cdotwr)

Resposta

(u times v) times (w times t) = l((u times v) cdot tr),w - l((u times v) cdot wr),t

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