Sejam f1(x)=1+x, f2(x)=x+x^2, f3(x)=x^2+x^3, ldots, f11(x)=x^9+x^10. Determine o maior subconjunto linearmente independente dentre os polinômios f1, f2, ldots, f11.

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios
fi(x)=x^,i-1+x^,i, i=1,2,dots,11
ou seja
f1=1+x,;f2=x+x^2,;dots,;f11=x^10+x^11,
e pede o maior subconjunto linearmente independente dentre eles.
O conteúdo é teste de independência linear em um espaço de polinômios, usando as componentes na base canônica
1,x,x^2,dots.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula
c1f1(x)+c2f2(x)+cdots+c11f11(x);=;0
para todo x. Vamos escrever isso na base 1,x,x^2,dots,x^11.

Passo 3

Expandindo cada fi e somando, a soma dá
sumi=1^11cil(x^,i-1+x^,ir) =l(c1r),1 +l(c1+c2r)x +l(c2+c3r)x^2 +cdots +l(c10+c11r)x^10 +l(c11r)x^11
Como isso é o polinômio zero, os coeficientes de cada monômio devem zerar.

Passo 4

Analisando coeficientes:
  • Coeficiente de 1=x^0: c1=0
  • Para cada k=1,2,dots,10, coeficiente de x^k ck+ck+1=0
  • Coeficiente de x^11: c11=0

Passo 5

Da equação c1=0 segue c2=0 (pois c1+c2=0), daí c3=0, e assim por diante até c11=0.
Logo a única solução é c1=cdots=c11=0, ou seja, os fi são todos linearmente independentes.

Resposta

O maior subconjunto linearmente independente é o conjunto inteiro
,f1,f2,dots,f11,
de cardinalidade 11.

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