Sejam
. Determine o maior subconjunto linearmente independente dentre os polinômios
.
Passo 1
O enunciado nos dá os polinômios
ou seja
e pede o maior subconjunto linearmente independente dentre eles.
O conteúdo é teste de independência linear em um espaço de polinômios, usando as componentes na base canônica
.
O conteúdo é teste de independência linear em um espaço de polinômios, usando as componentes na base canônica
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear nula
para todo
. Vamos escrever isso na base
.
Passo 3
Expandindo cada
e somando, a soma dá
Como isso é o polinômio zero, os coeficientes de cada monômio devem zerar.
Passo 4
Analisando coeficientes:
- Coeficiente de
: - Para cada
, coeficiente de dá - Coeficiente de
:
Passo 5
Da equação
segue
(pois
), daí
, e assim por diante até
.
Logo a única solução é , ou seja, os
são todos linearmente independentes.
Logo a única solução é
Resposta
O maior subconjunto linearmente independente é o conjunto inteiro
de cardinalidade 11.