Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x+y+z, y+z, z)
Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y+z,;y+z,;z)
Queremos encontrar uma base e a dimensão de ker(T) e de Im(T). Para isso usaremos a representação matricial de T, o cálculo de solução do sistema homogêneo para o núcleo e o espaço gerado pelas colunas para a imagem (teorema da dimensão nula + posto).

Passo 2

Escrevemos na forma matricial em relação à base canônica de . Se é o vetor-coluna, então
Para achar , resolvemos

Passo 3

O sistema equivalente é
x+y+z=0, y+z=0, z=0
Da terceira equação vem z=0. Substituindo na segunda dá y=0. Finalmente, na primeira, x=0. Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).
Portanto
ker(T)=(0,0,0),
dimensão diml(ker(T)r)=0 e a base de ker(T) é o conjunto vazio.

Passo 4

Para usamos o fato de que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de . As colunas são
Esses três vetores são linearmente independentes (a matriz é triangular com pivôs em todas as linhas), logo geram um subespaço de dimensão em .
Assim
e .

Resposta

Base de ker(T): varnothing dim(ker(T))=0
Base de Im(T): (1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1) dim(Im(T))=3

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