Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar uma base e a dimensão de e de . Para isso usaremos a representação matricial de , o cálculo de solução do sistema homogêneo para o núcleo e o espaço gerado pelas colunas para a imagem (teorema da dimensão nula posto).
Passo 2
Escrevemos na forma matricial em relação à base canônica de . Se é o vetor-coluna, então
Para achar , resolvemos
Passo 3
O sistema equivalente é
Da terceira equação vem z=0. Substituindo na segunda dá y=0. Finalmente, na primeira, x=0. Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).
Portanto
ker(T)=(0,0,0),
dimensão diml(ker(T)r)=0 e a base de ker(T) é o conjunto vazio.
Passo 4
Para usamos o fato de que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de . As colunas são
Esses três vetores são linearmente independentes (a matriz é triangular com pivôs em todas as linhas), logo geram um subespaço de dimensão em .
Assim
e .
Resposta
Base de ker(T): varnothing dim(ker(T))=0
Base de Im(T): (1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1) dim(Im(T))=3