Derive e simplifique.
y=sec 2 theta1+tg 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para derivar em relação a theta a função . O conteúdo envolvido é diferenciação de funções trigonométricas e vamos usar definições de y=dfracsec2theta1+tg2theta e , além das regras da cadeia e do quociente.

Passo 2

Para facilitar a derivação, primeiro reescrevemos y usando sec2theta=1/cos2theta e . Assim,
tg2theta=sin2theta/cos2theta
Multiplicando numerador e denominador por y=1/cos2theta1+sin2thetacos2theta, fica
cos2theta

Passo 3

Agora aplicamos a regra da derivada de 1/u, que é (1/u)'=-u'/u^2. Aqui u(theta)=cos2theta+sin2theta.
Calculamos u'(theta) usando a regra da cadeia: derivada de cos2theta é -2sin2theta e de sin2theta é 2cos2theta. Logo,
u'(theta)=-2sin2theta+2cos2theta=2(cos2theta-sin2theta)

Passo 4

Substituindo em y'=-(u')/u^2, obtemos
dydtheta=-2(cos2theta-sin2theta)(cos2theta+sin2theta)^2
Por fim, podemos tirar o sinal menos para inverter a diferença no numerador:
dydtheta=2(sin2theta-cos2theta)(cos2theta+sin2theta)^2

Resposta

dydtheta=2(sin2theta-cos2theta)(cos2theta+sin2theta)^2

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