Prove usando a definição que f(x, y)=x^2 y^2 é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de diferenciabilidade, que a função de duas variáveis f(x,y)=x^2y^2 é diferenciável em um ponto genérico (a,b). O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em R^2, que exige mostrar que o resto da aproximação linear é um o(rho), com rho=raizh^2+k^2.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de f, pois elas definem a aproximação linear. Para f(x,y)=x^2y^2 temos:
partial fpartial x(x,y)=2x y^2,
partial fpartial y(x,y)=2x^2 y

Passo 3

Em um ponto genérico (a,b), o polinômio linear (aproximação de primeira ordem) é
L(h,k)=f(a,b)+partial fpartial x(a,b),h+partial fpartial y(a,b),k = a^2b^2 + 2ab^2,h + 2a^2b,k

Passo 4

Agora escrevemos o resto R(h,k) na expansão de f(a+h,b+k) subtraindo L(h,k):
f(a+h,b+k)=(a+h)^2(b+k)^2
Expandindo e subtraindo a^2b^2 + 2ab^2h + 2a^2bk obtemos
R(h,k)=a^2k^2 + b^2h^2 + 4abhk + 2ah k^2 + 2bh^2k + h^2k^2

Passo 5

Para provar diferenciabilidade, precisamos mostrar que
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0
Observe que cada termo de R(h,k) tem grau pelo menos 2 em (h,k). Por exemplo
|a^2k^2|<=|a|^2(h^2+k^2), |4abhk|<=2|ab|(h^2+k^2), |h^2k^2|<=(h^2+k^2)^2
Logo cada fracção do tipo |termo|/raizh^2+k^2 é majorada por constante vezes raizh^2+k^2 (ou (h^2+k^2)^3/2), que vai a zero quando (h,k)to(0,0). Portanto
R(h,k)raizh^2+k^2to0
e isso demonstra, pela definição, que f é diferenciável em (a,b).

Resposta

A função f(x,y)=x^2y^2 é diferenciável em todo ponto (a,b), pois o resto da aproximação linear satisfaz R(h,k)=o(raizh^2+k^2).

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