Prove usando a definição que
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de diferenciabilidade, que a função de duas variáveis
é diferenciável em um ponto genérico
. O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em
, que exige mostrar que o resto da aproximação linear é um
, com
.
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de
, pois elas definem a aproximação linear. Para
temos:
Passo 3
Em um ponto genérico
, o polinômio linear (aproximação de primeira ordem) é
Passo 4
Agora escrevemos o resto
na expansão de
subtraindo
:
Expandindo e subtraindo
obtemos
Passo 5
Para provar diferenciabilidade, precisamos mostrar que
Observe que cada termo de
tem grau pelo menos 2 em
. Por exemplo
Logo cada fracção do tipo
é majorada por constante vezes
(ou
), que vai a zero quando
. Portanto
e isso demonstra, pela definição, que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo ponto
, pois o resto da aproximação linear satisfaz
.