Sobre a f(x, y)=yx, marque a única alternativa verdadeira.
Se b=3 a,(a neq 0) e u=(1raiz10, 3raiz10), então Du f(a, b)=0.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=yx. Queremos calcular a derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção u=(1/raiz10,3/raiz10), sabendo que b=3a e aneq0. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional, onde Du f(a,b)=nabla f(a,b)cdot u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=-yx^2, partial fpartial y=1x
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(-yx^2,,1xr)

Passo 3

Substituímos x=a e y=b=3a no gradiente:
nabla f(a,b)=l(-3aa^2,,1ar)=l(-3a,,1ar)

Passo 4

Fazemos o produto escalar com u:
nabla f(a,b)cdot u=l(-3a,,1ar)cdotl(1raiz10,,3raiz10r) =-3a1raiz10+1a3raiz10=0

Passo 5

Como o produto escalar deu zero, concluímos que Du f(a,b)=0, ou seja, a alternativa é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois Duf(a,b)=0.

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