Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f(x, y)=x^2 e^x y existem dois vetores unitários u para os quais Du f(1,0)=0.

Passo 1

A afirmação pede para verificar se existem dois vetores unitários u tais que a derivada direcional D_u f(1,0) seja zero. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^2 e^{x y}. A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=2x e^xy+x^2 e^xyy=e^xy(2x+x^2y)
e em relação a y é
partial fpartial y=x^2 e^xyx=x^3 e^xy

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,0):
nabla f(1,0)=l(partialx f(1,0),partialy f(1,0)r)=(2,1)

Passo 4

A derivada direcional em direção a um vetor unitário u satisfaz D_u f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot u. Para que isso seja zero, u deve ser ortogonal ao vetor (2,1). No plano, existem exatamente duas direções unitárias ortogonais a um dado vetor (uma e seu oposto).

Resposta

Verdadeira

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