Suponha que |f(x1, y1)-f(x2, y2)| <=|(x1, y1)-(x2, y2)|^2 para todo (x, y) in R^2. Prove que f é constante.

Passo 1

A questão pede para mostrar que uma função f: R^2to R satisfazendo a desigualdade |f(x1,y1)-f(x2,y2)|<=|(x1,y1)-(x2,y2)|^2 para todo par de pontos é necessariamente constante. O conteúdo principal envolve usar a desigualdade triangular e particionar o segmento que liga dois pontos arbitrários, aproveitando que a soma dos quadrados das distâncias fica pequena.

Passo 2

Sejam dois pontos arbitrários P e Q em R^2. Dividimos o segmento PQ em N subsegmentos iguais, com pontos intermediários P0=P,P1,dots,PN=Q tal que |Pi-Pi-1|=|P-Q|/N. Pela desigualdade triangular e pela hipótese, temos

Passo 3

|f(P)-f(Q)|<=sumi=1^N|f(Pi)-f(Pi-1)|<=sumi=1^N|Pi-Pi-1|^2 = Nl(tfrac|P-Q|Nr)^2 =|P-Q|^2N

Passo 4

Como a expressão |P-Q|^2/N pode ser tornada arbitrariamente pequena ao fazer Ntoinfty, segue que |f(P)-f(Q)|=0. Isso vale para quaisquer P,Q.

Resposta

f é constante em R^2.

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