O enunciado pede: provar, usando a definição formal, que
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x+2}{x+1} = 3.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{3x+2}{x+1}.
O objetivo é demonstrar, pela definição de limite quando x\to +\infty, que o valor limite L é 3.
Passo 2
Vou escrever a definição formal de limite quando x\to +\infty (a que devo usar).
Definição: dizer que
\lim_{x\to +\infty} f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe um número M\in\mathbb{R} tal que, para todo x>M, vale
\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.
Explicando em miúdos: \varepsilon é a precisão desejada (quão perto queremos que f(x) fique de L) e M é um ponto a partir do qual todos os x maiores garantem essa precisão.
Passo 3
Vou aplicar essa definição com f(x)=\dfrac{3x+2}{x+1} e L=3. Primeiro calculo a diferença f(x)-3 e a transformo de forma a obter uma condição simples em x.
pois o valor absoluto de -1/(x+1) é 1/(x+1) (note que para x>-1 o denominador é positivo; como estamos olhando x\to+\infty nos interessam x grandes, então isso é válido).
Passo 4
A exigência da definição \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon fica, depois da simplificação, como
Como essa construção funciona para qualquer \varepsilon>0 (ou seja, dado qualquer \varepsilon>0 conseguimos produzir um M que garante |f(x)-3|<\varepsilon para todo x>M), concluímos, pela definição formal, que
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x+2}{x+1}=3.
Passo 6
Resumo intuitivo rápido: a diferença entre \dfrac{3x+2}{x+1} e 3 é exatamente \dfrac{1}{x+1}, que vai a 0 quando x\to+\infty. A prova formal traduz essa observação em uma desigualdade com \varepsilon e fornece um M que funciona para qualquer precisão pedida. Coragem — esse tipo de manipulação algébrica é exatamente o que cai na prova!