Determine cada um dos limites dados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
e a subtração de . - A variável
tende para (valores crescentes e positivos).
O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Identificar a forma indeterminada: ao calcular informalmente, temos
portanto a expressão é do tipo
, que é uma forma indeterminada. Não podemos concluir o valor do limite só por essa observação; precisamos manipular a expressão para obter uma forma que permita aplicar regras de limite.
Passo 3
Técnica útil: multiplicar por uma forma neutra — o conjugado — para eliminar a diferença de grandes termos sob a raiz. Multiplicamos a expressão por
assim a expressão original fica equivalente a
Passo 4
Simplificar usando a identidade
. Tomando
e
, obtemos no numerador
Portanto a expressão transformada é
Passo 5
Para facilitar o cálculo do limite, fatoramos
no denominador (ou dividimos numerador e denominador por
); como
quando
, isso é válido. Fazendo a divisão por
obtemos
Passo 6
Agora aplicamos o limite em
. Como
quando
, pelo teorema do limite de funções contínuas,
Portanto o limite da expressão transformada é
Passo 7
Interpretação intuitiva (opcional, para fixar): usando expansão para raízes, para
pequeno vale
. Aplicando isso com
em
o que também mostra que a diferença tende para
. Essa é só uma verificação extra da resposta obtida algébricamente.