Determine cada um dos limites dados a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{9x^{2}+x} e a subtração de 3x.
  • A variável x tende para +\infty (valores crescentes e positivos).
    O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Identificar a forma indeterminada: ao calcular informalmente, temos
\sqrt{9x^{2}+x}\sim 3x\quad\text{quando }x\to+\infty,
portanto a expressão é do tipo \infty-\infty, que é uma forma indeterminada. Não podemos concluir o valor do limite só por essa observação; precisamos manipular a expressão para obter uma forma que permita aplicar regras de limite.

Passo 3

Técnica útil: multiplicar por uma forma neutra — o conjugado — para eliminar a diferença de grandes termos sob a raiz. Multiplicamos a expressão por
\frac{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = 1,
assim a expressão original fica equivalente a
\left(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\right)\cdot\frac{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.

Passo 4

Simplificar usando a identidade (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}. Tomando A=\sqrt{9x^{2}+x} e B=3x, obtemos no numerador
(\sqrt{9x^{2}+x})^{2}-(3x)^{2}=9x^{2}+x-9x^{2}=x.
Portanto a expressão transformada é
\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.

Passo 5

Para facilitar o cálculo do limite, fatoramos x no denominador (ou dividimos numerador e denominador por x); como x>0 quando x\to+\infty, isso é válido. Fazendo a divisão por x obtemos
\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} = \frac{x}{x\sqrt{9+\tfrac{1}{x}}+3x} = \frac{1}{\sqrt{9+\tfrac{1}{x}}+3}.

Passo 6

Agora aplicamos o limite em x\to+\infty. Como \tfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty, pelo teorema do limite de funções contínuas,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{9+\tfrac{1}{x}}=\sqrt{9+0}=3.
Portanto o limite da expressão transformada é
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{9+\tfrac{1}{x}}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Interpretação intuitiva (opcional, para fixar): usando expansão para raízes, para t pequeno vale \sqrt{1+t}\approx 1+\tfrac{t}{2}. Aplicando isso com t=\tfrac{1}{9x} em
\sqrt{9x^{2}+x}=3x\sqrt{1+\tfrac{1}{9x}}\approx 3x\left(1+\frac{1}{18x}\right)=3x+\frac{1}{6},
o que também mostra que a diferença tende para \tfrac{1}{6}. Essa é só uma verificação extra da resposta obtida algébricamente.

Resposta

\dfrac{1}{6}

Exercícios relacionados