Prove, usando a definição formal, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição formal, que
Informações dadas:
- A função em questão é
. - Queremos mostrar que, quando
cresce sem limite positivo, também cresce sem limite (isto é, tende a ). - Não há outros dados numéricos; a prova deve ser feita com a definição formal de limite para
.
Passo 2
Vou escrever a definição formal que usarei (explicando em palavras): dizer que
significa que para todo número real arbitrariamente grande
existe um número
tal que, para todo
com
, temos
.
Em palavras: dado qualquer limiar
grande, conseguimos encontrar um ponto
de modo que, depois desse ponto, todos os valores da função ficam acima de
.
Passo 3
Agora começo a prova formal seguindo a definição.
Seja arbitrário
. Queremos encontrar um
(dependente de
) tal que, sempre que
, então
Passo 4
Resolvemos a desigualdade para isolar
. Partimos de
e somamos
em ambos os lados:
Como estamos considerando
indo para
, investigamos
, então podemos tirar raiz quadrada dos dois lados sem mudar o sentido:
Passo 5
Da linha anterior segue a escolha natural de
. Defina
Então, para qualquer
que satisfaça
, temos
e portanto
Passo 6
Interpretando em termos da definição: mostramos que para todo
existe
tal que, para todo
, vale
. Isso é exatamente o que a definição formal exige para concluir que
tende a
quando
.