Prove, usando a definição formal, que:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-4\right)=+\infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal, que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}-4\bigr)=+\infty.
Informações dadas:
  • A função em questão é f(x)=x^{2}-4.
  • Queremos mostrar que, quando x cresce sem limite positivo, f(x) também cresce sem limite (isto é, tende a +\infty).
  • Não há outros dados numéricos; a prova deve ser feita com a definição formal de limite para +\infty.

Passo 2

Vou escrever a definição formal que usarei (explicando em palavras): dizer que
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
significa que para todo número real arbitrariamente grande M>0 existe um número R tal que, para todo x com x>R, temos f(x)>M.
Em palavras: dado qualquer limiar M grande, conseguimos encontrar um ponto R de modo que, depois desse ponto, todos os valores da função ficam acima de M.

Passo 3

Agora começo a prova formal seguindo a definição.
Seja arbitrário M>0. Queremos encontrar um R (dependente de M) tal que, sempre que x>R, então
x^{2}-4>M.

Passo 4

Resolvemos a desigualdade para isolar x. Partimos de
x^{2}-4>M
e somamos 4 em ambos os lados:
x^{2}>M+4.
Como estamos considerando x indo para +\infty, investigamos x>0, então podemos tirar raiz quadrada dos dois lados sem mudar o sentido:
x>\sqrt{\,M+4\,}.

Passo 5

Da linha anterior segue a escolha natural de R. Defina
R=\sqrt{\,M+4\,}.
Então, para qualquer x que satisfaça x>R, temos
x^{2}>R^{2}=M+4,
e portanto
x^{2}-4>M.

Passo 6

Interpretando em termos da definição: mostramos que para todo M>0 existe R=\sqrt{M+4} tal que, para todo x>R, vale f(x)=x^{2}-4>M. Isso é exatamente o que a definição formal exige para concluir que f(x) tende a +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}-4\right)=+\infty

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