Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - O valor proposto do limite é
.
O objetivo agora é mostrar, pela definição
-
, que para todo
existe
tal que, sempre que
, teremos
.
Passo 2
Recordando a definição formal (vai virar nossa “ferramenta de prova”):
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
-
é a precisão desejada no valor da função (quão perto queremos ficar de ). -
é a largura do intervalo em torno de que garantirá essa precisão. - A implicação
é o que devemos provar construindo um em função de .
Passo 3
Vamos manipular
para relacioná-lo com
. Calculamos:
Agora simplificamos o interior:
Usando a propriedade
obtemos
Interpretação: a distância entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
. Isso é muito útil para escolher
.
Passo 4
Queremos garantir
. A partir da expressão anterior, se tivermos
então a condição é satisfeita. Isso é equivalente a
Portanto uma escolha natural e eficaz é
Note que
sempre que
, como exigido pela definição.
Passo 5
Agora fazemos a prova direta da implicação exigida pela definição. Seja qualquer
. Tome
. Se
satisfaz
, então
Isso mostra exatamente que, para esse
, sempre que
temos
. Assim a condição da definição é satisfeita para todo
.
Passo 6
Conclusão final da prova: como para todo
encontramos um
(especificamente
) que garante a implicação da definição, concluímos que
Como reforço numérico: se escolhermos
, então
. Isso significa que sempre que
estiver dentro de
de
(mas não igual a
), o valor
estará dentro de
de
. É uma checagem prática que ajuda a entender a relação entre
e
.