Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado.
\lim _{x \rightarrow-2}(1-4 x)=9

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to -2} (1-4x) = 9.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=1-4x.
  • O ponto de interesse é x\to -2.
  • O valor proposto do limite é 9.
O objetivo agora é mostrar, pela definição \varepsilon- \delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-2)|<\delta, teremos |f(x)-9|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição formal (vai virar nossa “ferramenta de prova”):
\text{Dizemos que }\lim_{x\to -2} f(x)=9\text{ se, para todo }\varepsilon>0\text{, existe }\delta>0\text{ tal que }0<|x+2|<\delta\Rightarrow |f(x)-9|<\varepsilon.
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
  • \varepsilon>0 é a precisão desejada no valor da função (quão perto queremos ficar de 9).
  • \delta>0 é a largura do intervalo em torno de -2 que garantirá essa precisão.
  • A implicação 0<|x+2|<\delta\Rightarrow |f(x)-9|<\varepsilon é o que devemos provar construindo um \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Vamos manipular |f(x)-9| para relacioná-lo com |x+2|. Calculamos:
|f(x)-9| = |(1-4x)-9|.
Agora simplificamos o interior:
(1-4x)-9 = -4x-8 = -4(x+2).
Usando a propriedade |ab|=|a||b| obtemos
|f(x)-9| = |-4(x+2)| = 4\,|x+2|.
Interpretação: a distância entre f(x) e 9 é exatamente 4 vezes a distância entre x e -2. Isso é muito útil para escolher \delta.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-9|<\varepsilon. A partir da expressão anterior, se tivermos
4\,|x+2|<\varepsilon
então a condição é satisfeita. Isso é equivalente a
|x+2|<\frac{\varepsilon}{4}.
Portanto uma escolha natural e eficaz é
\delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Note que \delta>0 sempre que \varepsilon>0, como exigido pela definição.

Passo 5

Agora fazemos a prova direta da implicação exigida pela definição. Seja qualquer \varepsilon>0. Tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{4}. Se x satisfaz 0<|x+2|<\delta, então
|f(x)-9| = 4\,|x+2| < 4\delta = 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<|x+2|<\delta temos |f(x)-9|<\varepsilon. Assim a condição da definição é satisfeita para todo \varepsilon>0.

Passo 6

Conclusão final da prova: como para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon/4) que garante a implicação da definição, concluímos que
\lim_{x\to -2} (1-4x) = 9.
Como reforço numérico: se escolhermos \varepsilon=0,1, então \delta=0,025. Isso significa que sempre que x estiver dentro de 0,025 de -2 (mas não igual a -2), o valor 1-4x estará dentro de 0,1 de 9. É uma checagem prática que ajuda a entender a relação entre \varepsilon e \delta.

Resposta

\,9

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