Considere o limite lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.
(i) Admitindo 0<|x-2|<\delta \leq 1, mostre que \frac{1}{|x+2|}<\frac{1}{3}.
(ii) Prove o limite acima usando a definição.

Passo 1

O enunciado dá o limite \lim_{x\to2}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4} e pede duas coisas:
(i) Admitindo \;0<|x-2|<\delta\leq1\;, mostrar que \dfrac{1}{|x+2|}<\dfrac{1}{3}.
(ii) Provar o limite acima usando a definição \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então \left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{4}\right|<\varepsilon.
As informações relevantes: o ponto de interesse é x=2, a função é x\mapsto\dfrac{1}{x+2}, e em (i) temos a hipótese extra \delta\leq1.

Passo 2

Mostrar (i) passo a passo.
Se \;0<|x-2|<\delta\leq1\;, então em particular |x-2|<1. A desigualdade |x-2|<1 significa
-1<x-2<1.
Somando 2 em todos os termos obtemos
1<x<3.
Somando 2 novamente (ou simplesmente somando 2 ao intervalo) obtemos
3<x+2<5.
Daí segue que |x+2|>3. Tomando recíprocos (notando que x+2>3>0 então o recíproco preserva desigualdade) obtemos
\frac{1}{|x+2|}<\frac{1}{3}.
Isso prova (i).

Passo 3

Iniciar a prova \varepsilon- \delta do limite (ii). Relembrando a definição: provar \lim_{x\to2}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4} significa mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-2|<\delta \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{1}{x+2}-\frac{1}{4}\right|<\varepsilon.
Vamos manipular algebraicamente a diferença para ver como escolher \delta. Calcule:
\left|\frac{1}{x+2}-\frac{1}{4}\right| = \left|\frac{4-(x+2)}{4(x+2)}\right| = \left|\frac{2-x}{4(x+2)}\right| = \frac{|x-2|}{4|x+2|}.

Passo 4

Usar o resultado do Passo 2 para controlar o denominador. Pelo Passo 2, se escolhermos \delta\leq1 então sempre que 0<|x-2|<\delta temos |x+2|>3. Assim, sob a condição \delta\leq1,
\left|\frac{1}{x+2}-\frac{1}{4}\right| = \frac{|x-2|}{4|x+2|} \leq \frac{|x-2|}{4\cdot 3} = \frac{|x-2|}{12}.
Portanto, para garantir \left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{4}\right|<\varepsilon basta garantir
\frac{|x-2|}{12}<\varepsilon,
ou seja |x-2|<12\varepsilon.

Passo 5

Escolha explícita de \delta. Para um dado \varepsilon>0 tome
\delta=\min\{1,\;12\varepsilon\}.
Então \delta>0. Se 0<|x-2|<\delta temos simultaneamente |x-2|<1 (logo |x+2|>3 pelo Passo 2) e |x-2|<12\varepsilon. Pelo Passo 4 segue
\left|\frac{1}{x+2}-\frac{1}{4}\right|\leq\frac{|x-2|}{12}<\frac{12\varepsilon}{12}=\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (explicitamente \delta=\min\{1,12\varepsilon\}) que garante a condição da definição. Portanto
\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{1}{|x+2|}<\frac{1}{3}.
(ii) Para todo \varepsilon>0 escolha \displaystyle \delta=\min\{1,12\varepsilon\}. Então, se 0<|x-2|<\delta, tem-se \displaystyle \left|\frac{1}{x+2}-\frac{1}{4}\right|<\varepsilon; logo \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.

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