Prove, usando a definição de limite, que.
lim z i(4 z+i) /(z+1)=5 i /(i+1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que limzto i4z+iz+1=5ii+1. Esse problema cai na matéria de limite de funções de variável complexa e vamos usar a definição varepsilon- de e manipulação algébrica para fatorar z-i.

Passo 2

Substituindo z=i em f(z)=4z+iz+1, obtemos L=4i+ii+1=5ii+1.
Lembrando a definição de limite: dizemos que limzto if(z)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que 0<|z-i| implica |f(z)-L|.

Passo 3

Analisamos a diferença:
f(z)-L = 4z+iz+1 - 5ii+1 = (4z+i)(i+1) - 5i(z+1)(z+1)(i+1) = (z-i)(4-i)(z+1)(i+1)
Tomando módulo, chega-se a
|f(z)-L| = |4-i||i+1| cdot |z-i||z+1| = raiz17raiz2 cdot |z-i||z+1|
Para controlar o denominador, basta escolher de, o que implica |z-i|<1 e então
|z+1| >= |i+1| - |z-i| > raiz2 - 1

Passo 4

Dessa forma
|f(z)-L| < raiz17raiz2(raiz2-1) |z-i| = K |z-i|
Para garantir |f(z)-L|, basta exigir K|z-i|, ou seja |z-i|. Então escolhemos
de
Com isso, sempre que 0<|z-i|, temos |f(z)-L|, concluindo a prova.

Resposta

5ii+1

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