Prove, usando a definição de limite, que.
lim z -3 i(z^2-5 z)=-9+15 i

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove, usando a definição de limite (ε–δ), que para a função f(z)=z²−5z vale limzto -3if(z)=-9+15i. O conteúdo é limites de funções de variável complexa e vamos precisar aplicar a definição formal: dado ε>0, encontrar δ>0 tal que sempre que |z+3i|<δ então |f(z)−(−9+15i)|<ε.

Passo 2

Começamos escrevendo a diferença entre a função e o valor limite desejado. Defina u=z+3i, de modo que z=u−3i. Então
f(z)-(-9+15i)=z^2-5z+9-15i
Substituindo z=u−3i obtemos
z^2-5z+9-15i=(u-3i)^2-5(u-3i)+9-15i=u^2-(5+6i)u
Assim
|f(z)-(-9+15i)|=|u|,|u-(5+6i)|
Pelo triângulo,
|u-(5+6i)|<=|u|+|5+6i|=|z+3i|+raiz61

Passo 3

Logo
|f(z)-(-9+15i)|<=|z+3i|l(|z+3i|+raiz61r)

Passo 4

Agora basta controlar isso: se escolhermos de, então |z+3i| implica |z+3i|+raiz61<=1+raiz61 e
|f(z)-(-9+15i)|

Passo 5

Para garantir que isso seja menor que ε, basta definir
de

Resposta

Escolhendo de, temos sempre que |z+3i| implica |f(z)-(-9+15i)|, o que prova que limzto -3i(z^2-5z)=-9+15i.

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