Prove, usando a definição de limite, que.
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove, usando a definição de limite (ε–δ), que para a função f(z)=z²−5z vale
. O conteúdo é limites de funções de variável complexa e vamos precisar aplicar a definição formal: dado ε>0, encontrar δ>0 tal que sempre que |z+3i|<δ então |f(z)−(−9+15i)|<ε.
Passo 2
Começamos escrevendo a diferença entre a função e o valor limite desejado. Defina
, de modo que z=u−3i. Então
Substituindo z=u−3i obtemos
Assim
Pelo triângulo,
Passo 3
Logo
Passo 4
Agora basta controlar isso: se escolhermos
, então
implica
e
Passo 5
Para garantir que isso seja menor que ε, basta definir
Resposta
Escolhendo
, temos sempre que
implica
, o que prova que
.