Determine as partes real e imaginária de cada um a das funções dadas.
w=z-3 i barzz-i

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as partes real e imaginária de ,“w”, onde ,“w”\ = dfracz - 3izz - i. O conteúdo principal é manipulação de números complexos, usando z = x+iy e z=x-iy.

Passo 2

Vamos substituir z = x + iy e z = x - iy no numerador e no denominador:
No numerador temos:
z - 3iz = (x+iy) - 3i(x-iy) = x + iy - 3ix + 3i^2y = x + iy - 3ix - 3y
Agrupando parte real e imaginária do numerador:
x - 3y + il(y - 3xr)

Passo 3

No denominador:
z - i = x + iy - i = x + i(y - 1)
Para separar as partes real e imaginária de w, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de z - i, que é x - i(y-1). Assim:
w = (x - 3y + i(y - 3x)),(x - i(y-1))(x + i(y-1)),(x - i(y-1))

Passo 4

O denominador vira:
x^2 + (y - 1)^2
Agora expandimos o numerador:
(x - 3y)(x) + (x - 3y)(-i(y-1)) + i(y - 3x)(x) + i(y - 3x)(-i(y-1))
Vamos agrupar cada termo:
  1. (x - 3y)x = x^2 - 3xy
  2. (x - 3y)(-i(y-1)) = -ix(y-1) + 3iy(y-1)
  3. i(y - 3x)x = ixy - 3ix^2
  4. i(y - 3x)(-i(y-1)) = -(i^2)(y - 3x)(y-1) = (y - 3x)(y-1)

Passo 5

Somando reais e imaginários separadamente:
Parte real do numerador:
x^2 - 3xy + (y - 3x)(y - 1)
Parte imaginária do numerador:
-x(y-1) + 3y(y-1) + x y - 3x^2

Passo 6

Simplificando cada parte:
Para a parte real:
x^2 - 3xy + (y^2 - y - 3xy + 3x) = x^2 - 3xy + y^2 - y - 3xy + 3x = x^2 + y^2 - 6xy + 3x - y
Para a parte imaginária:
-xy + x + 3y^2 - 3y + xy - 3x^2 = 3y^2 - 3y + x - 3x^2

Passo 7

Portanto,
w = (x^2 + y^2 - 6xy + 3x - y) + i(3y^2 - 3y + x - 3x^2)x^2 + (y - 1)^2
Logo, a parte real de w é dfracx^2 + y^2 - 6xy + 3x - yx^2 + (y - 1)^2 e a parte imaginária de w é dfrac3y^2 - 3y + x - 3x^2x^2 + (y - 1)^2.

Resposta

Parte real: dfracx^2 + y^2 - 6xy + 3x - yx^2 + (y - 1)^2, parte imaginária: dfrac3y^2 - 3y + x - 3x^2x^2 + (y - 1)^2.

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