Seja a parametrização no plano da circunferência C de raio r:
(x, y)=sigma(t)=(r cos t, r sin t), t in[0,2 pi)
Se definirmos uma nova parametrização gamma(t)= (r sin t, r cos t), a circunferência é percorrida no sentido horário ou antihorário quando t cresce?

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência C de raio r e a nova parametrização gamma(t)=(rsin t,,rcos t). O que queremos é descobrir se, quando t cresce, a curva é percorrida no sentido horário ou anti-horário – para isso vamos usar derivadas paramétricas e um ponto de referência.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor tangente gamma'(t), que indica a direção do movimento em cada t:
gamma'(t) = (rcos t,,-rsin t)

Passo 3

Para decidir o sentido, avaliamos em um t simples, por exemplo t=0. Temos
gamma(0)=(0,,r) e
gamma'(0)=(r,,0).
No ponto superior da circunferência, o vetor tangente aponta para a direita. No círculo, isso corresponde a um movimento para a direita a partir do topo, ou seja, sentido horário.

Resposta

Sentido horário.

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