Seja a parametrização no plano da circunferência C de raio r:
(x, y)=sigma(t)=(r cos t, r sin t), t in[0,2 pi)
Calcule o elemento de linha d s=d sigma(t)d t d t e d s=|d sigma(t)d t| d t.

Passo 1

Temos uma circunferência de raio r parametrizada por σ(t)=(rcos t,,rsin t), tin[0,2pi). O que precisamos é o elemento de linha vetorial ds=dσdt,dt e o escalar ds=l|dσdtr|,dt.

Passo 2

Derivando cada componente de σ(t), obtemos:
dσdt=(-rsin t,,rcos t)

Passo 3

Logo o elemento de linha vetorial é
ds=(-rsin t,,rcos t),dt

Passo 4

Para achar o elemento escalar, calculamos o módulo de dσdt:
l|(-rsin t,,rcos t)r|=raiz(-rsin t)^2+(rcos t)^2=rraizsin^2t+cos^2t=r

Passo 5

Portanto
ds=r,dt

Resposta

O elemento de linha vetorial é ds=(-rsin t,,rcos t),dt e o elemento escalar é ds=r,dt.

Exercícios relacionados