Prove, usando a definição de limite ( \operatorname{com} \delta e \varepsilon ), que: \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-2 x+1\right)=1
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com \delta e \varepsilon, que
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-2x+1\right)=1.
Informações dadas e objetivo claro:
A função é f(x)=x^{2}-2x+1.
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale |f(x)-1|<\varepsilon.
Não vou resolver nada ainda aqui, apenas deixei explícito o que é pedido.
Passo 2
Lembrete da definição de limite (com \varepsilon e \delta), explicada de forma bem direta:
Dizer que \lim_{x\to 2} f(x)=1 significa: para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 tal que
A nossa tarefa é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar uma regra para escolher \delta em função de \varepsilon e provar que essa escolha funciona.
Passo 3
Começo manipulando a diferença que quero controlar, sempre escrevendo tudo explicitamente:
Essa fatoração é útil porque já aparece o fator |x-2| que desejamos controlar diretamente com \delta. Agora preciso controlar também o fator |x|, que depende de x.
Passo 4
Vou forçar x a ficar próximo de 2 para poder limitar |x|. Uma escolha comum e simples é pedir que |x-2|<1. Se |x-2|<1, então
|x| = |x-2+2| \le |x-2| + |2| < 1 + 2 = 3.
Logo, sempre que |x-2|<1 temos |x|<3. Essa é uma técnica padrão: limitar um fator extra escolhendo \delta pequeno (aqui usamos 1).
Passo 5
Usando o resultado anterior, sob a hipótese |x-2|<1 obtenho
|f(x)-1| = |x||x-2| < 3\,|x-2|.
Para garantir |f(x)-1|<\varepsilon basta então exigir 3|x-2|<\varepsilon, ou seja |x-2|<\varepsilon/3.
Passo 6
Agora escolho \delta de forma a garantir simultaneamente |x-2|<1 (para poder usar o bound |x|<3) e |x-2|<\varepsilon/3 (para controlar o produto). Uma escolha natural é
Isso demonstra exatamente a condição da definição de limite.
Passo 7
Conclusão formal e comentário final amigável: mostramos que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min\{1,\varepsilon/3\}>0 tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-1|<\varepsilon. Portanto, pela definição \varepsilon-\delta,
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-2x+1\right)=1.
Boa! Essa é a prova completa com a construção explícita do \delta.