Prove, usando a definição de limite ( \operatorname{com} \delta e \varepsilon ), que:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-2 x+1\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com \delta e \varepsilon, que
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-2x+1\right)=1.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função é f(x)=x^{2}-2x+1.
  • Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, vale |f(x)-1|<\varepsilon.
    Não vou resolver nada ainda aqui, apenas deixei explícito o que é pedido.

Passo 2

Lembrete da definição de limite (com \varepsilon e \delta), explicada de forma bem direta:
  • Dizer que \lim_{x\to 2} f(x)=1 significa: para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 tal que
0<|x-2|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-1|<\varepsilon.
A nossa tarefa é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar uma regra para escolher \delta em função de \varepsilon e provar que essa escolha funciona.

Passo 3

Começo manipulando a diferença que quero controlar, sempre escrevendo tudo explicitamente:
|f(x)-1| = \bigl|x^{2}-2x+1 - 1\bigr| = \bigl|x^{2}-2x\bigr| = |x||x-2|.
Essa fatoração é útil porque já aparece o fator |x-2| que desejamos controlar diretamente com \delta. Agora preciso controlar também o fator |x|, que depende de x.

Passo 4

Vou forçar x a ficar próximo de 2 para poder limitar |x|. Uma escolha comum e simples é pedir que |x-2|<1. Se |x-2|<1, então
|x| = |x-2+2| \le |x-2| + |2| < 1 + 2 = 3.
Logo, sempre que |x-2|<1 temos |x|<3. Essa é uma técnica padrão: limitar um fator extra escolhendo \delta pequeno (aqui usamos 1).

Passo 5

Usando o resultado anterior, sob a hipótese |x-2|<1 obtenho
|f(x)-1| = |x||x-2| < 3\,|x-2|.
Para garantir |f(x)-1|<\varepsilon basta então exigir 3|x-2|<\varepsilon, ou seja |x-2|<\varepsilon/3.

Passo 6

Agora escolho \delta de forma a garantir simultaneamente |x-2|<1 (para poder usar o bound |x|<3) e |x-2|<\varepsilon/3 (para controlar o produto). Uma escolha natural é
\delta = \min\!\left\{1,\\ \frac{\varepsilon}{3}\right\}.
Verificação: seja qualquer \varepsilon>0 e tome este \delta. Se 0<|x-2|<\delta então, em particular, |x-2|<1 (logo |x|<3) e |x-2|<\varepsilon/3. Então
|f(x)-1| = |x||x-2| < 3|x-2| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso demonstra exatamente a condição da definição de limite.

Passo 7

Conclusão formal e comentário final amigável: mostramos que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min\{1,\varepsilon/3\}>0 tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-1|<\varepsilon. Portanto, pela definição \varepsilon- \delta,
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-2x+1\right)=1.
Boa! Essa é a prova completa com a construção explícita do \delta.

Resposta

1

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