Prove, usando a definição de limite (
e
), que:
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos foi dado. O enunciado solicita que mostremos, usando a definição de limite com
e
, que
Informações relevantes:
- Queremos provar: para todo
existe tal que, sempre que , então . - A única expressão envolvendo
que teremos que controlar é .
Passo 2
Vou escrever a definição de limite que vou usar e explicar cada símbolo:
- A definição: dizer que
significa que
- Aqui
é um número positivo arbitrário que representa a tolerância desejada no valor da função em relação a . -
é o número positivo que vamos escolher (em termos de ) para controlar a distância entre e .
O objetivo é, dado um, produzir uma válida.
Passo 3
Vou manipular a quantidade que precisamos tornar pequena:
Explicando: factorizei
como
. Portanto controlar
equivale a controlar o produto
.
Passo 4
Estratégia prática (padrão nesses casos): controlar o fator
por uma constante, usando uma condição extra simples sobre
. Vou forçar
a ser no máximo
. Se eu garantir
, então:
-
está no intervalo , - logo
satisfaz .
Explicando com calma: seentão , então em particular (podemos usar a desigualdade para simplificar).
Passo 5
Usando a desigualdade anterior, quando
temos
Portanto, para garantir
basta garantir
, isto é
.
Passo 6
Escolha explícita de
: dado um
, defino
Agora verifico que essa escolha funciona. Suponha
. Então, por definição de
,
- tem-se
, portanto (como no passo anterior); - e também
.
Combinar essas duas informações dá
Isso mostra exatamente que, com essa
, se
então
.
Passo 7
Concluo formalmente: vimos que para qualquer
podemos tomar
e então a condição da definição de limite é satisfeita; portanto