Prove, usando a definição de limite ( \operatorname{com} \delta e \varepsilon ), que:
\lim _{x \rightarrow 3} x^{2}=9

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos foi dado. O enunciado solicita que mostremos, usando a definição de limite com \delta e \varepsilon, que
\lim_{x\to 3} x^{2} = 9.
Informações relevantes:
  • Queremos provar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, então |x^{2}-9|<\varepsilon.
  • A única expressão envolvendo x que teremos que controlar é |x^{2}-9|.

Passo 2

Vou escrever a definição de limite que vou usar e explicar cada símbolo:
  • A definição: dizer que \lim_{x\to 3} x^{2}=9 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\\ \delta>0\\ \text{ tal que se }0<|x-3|<\delta\text{ então }|x^{2}-9|<\varepsilon.ã
  • Aqui \varepsilon é um número positivo arbitrário que representa a tolerância desejada no valor da função em relação a 9.
  • \delta é o número positivo que vamos escolher (em termos de \varepsilon) para controlar a distância entre x e 3.
    O objetivo é, dado um \varepsilon>0, produzir uma \delta>0 válida.

Passo 3

Vou manipular a quantidade que precisamos tornar pequena:
|x^{2}-9| = |x-3||x+3|.
Explicando: factorizei x^{2}-9 como (x-3)(x+3). Portanto controlar |x^{2}-9| equivale a controlar o produto |x-3|\cdot|x+3|.

Passo 4

Estratégia prática (padrão nesses casos): controlar o fator |x+3| por uma constante, usando uma condição extra simples sobre |x-3|. Vou forçar \delta a ser no máximo 1. Se eu garantir 0<|x-3|<1, então:
  • x está no intervalo (2,4),
  • logo |x+3| satisfaz |x+3| \le 4+3 = 7.
    Explicando com calma: se 2<x<4 então 5<x+3<7, então em particular |x+3|<7 (podemos usar a desigualdade |x+3|\le 7 para simplificar).

Passo 5

Usando a desigualdade anterior, quando 0<|x-3|<1 temos
|x^{2}-9| = |x-3||x+3| \le 7\,|x-3|.
Portanto, para garantir |x^{2}-9|<\varepsilon basta garantir 7\,|x-3|<\varepsilon, isto é |x-3|<\varepsilon/7.

Passo 6

Escolha explícita de \delta: dado um \varepsilon>0, defino
\delta = \min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{7}\right).
Agora verifico que essa escolha funciona. Suponha 0<|x-3|<\delta. Então, por definição de \delta,
  • tem-se 0<|x-3|<1, portanto |x+3|\le 7 (como no passo anterior);
  • e também |x-3|<\varepsilon/7.
    Combinar essas duas informações dá
|x^{2}-9| = |x-3||x+3| \le 7\,|x-3| < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, com essa \delta, se 0<|x-3|<\delta então |x^{2}-9|<\varepsilon.

Passo 7

Concluo formalmente: vimos que para qualquer \varepsilon>0 podemos tomar \delta=\min\!\big(1,\varepsilon/7\big) e então a condição da definição de limite é satisfeita; portanto
\lim_{x\to 3} x^{2} = 9.

Resposta

9

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