(2,0 pontos)
(a) Prove que se \sum a_{n} converge, então \lim a_{n}=0.
(b) Mostre que a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4} diverge.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado tem duas partes:
    • (a) Provar que se \sum a_{n} converge, então \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
    • (b) Mostrar que a série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4} diverge.
  • Informação implícita importante:
    • Em (a) parte-se da hipótese de que a série \sum a_{n} converge (ou seja, a sequência de somas parciais converge).
    • Em (b) a série tem termo geral a_n=\dfrac{n^{2}}{5n^{2}+4} para n\ge 0.

Passo 2

Definições e ferramenta que vou usar (explicadas passo a passo).
  • Definição de série e soma parcial: para uma sequência \{a_n\}, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é a sequência de somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
Dizemos que a série converge se a sequência \{S_N\} converge para algum número finito S, isto é, \lim_{N\to\infty} S_N = S.
  • Propriedade simples sobre limites de sequências (que vou usar): se \{S_N\} converge para S, então a sequência deslocada \{S_{N-1}\} também converge para S. Isso porque remover ou atrasar um número finito de termos não muda o limite.
  • Outra propriedade de limites que vou usar: se duas sequências \{x_N\} e \{y_N\} convergem para x e y respectivamente, então a sequência das diferenças \{x_N-y_N\} converge para x-y.
Com isso pronto, posso demonstrar (a).

Passo 3

Prova de (a) — passo a passo e didático.
  • Começo supondo que a série \sum a_n converge. Então a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
converge para algum número finito S:
\lim_{N\to\infty} S_N = S.
  • Observe que o termo geral a_N pode ser escrito como diferença de somas parciais consecutivas:
a_N = S_N - S_{N-1},
para N\ge 2. (Para N=1 apenas a_1=S_1; isso não afeta o limite quando N\to\infty.)
  • Como \lim_{N\to\infty} S_N = S, pela propriedade do deslocamento também vale
\lim_{N\to\infty} S_{N-1} = S.
  • Aplicando a propriedade de limites às duas sequências, a sequência das diferenças converge para a diferença dos limites:
\lim_{N\to\infty} a_N = \lim_{N\to\infty} (S_N - S_{N-1}) = \left(\lim_{N\to\infty} S_N\right) - \left(\lim_{N\to\infty} S_{N-1}\right) = S - S = 0.
  • Conclusão da parte (a): se \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. (Intuitivamente: os “passos” entre somas parciais ficam cada vez menores.)

Passo 4

Comentário didático extra (importante na prova): a condição \lim_{n\to\infty} a_n=0 é necessária, mas não é suficiente para garantir convergência da série. Um exemplo clássico é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
cujo termo geral tende a zero, mas a série diverge. Então, em exercícios, verificar apenas que os termos vão a zero não garante que a série converge; porém se os termos NÃO vão a zero, a série com certeza diverge.

Passo 5

Aplicando (a) para resolver (b): calcular o limite do termo geral e concluir.
  • O termo geral da série dada é
a_n=\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}.
  • Para calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}}{5n^{2}+4} = \frac{1}{5 + \dfrac{4}{n^{2}}}.
  • Agora tomo limite quando n\to\infty. Como \dfrac{4}{n^{2}}\to 0, obtemos
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{5n^{2}+4} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{5 + \dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{5 + 0} = \frac{1}{5}.

Passo 6

Conclusão da parte (b) usando o resultado de (a).
  • Pelo resultado de (a), se uma série \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Aqui encontramos
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{5} \neq 0.
  • Portanto a série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4} não pode convergir; isto é, ela diverge. (Obs.: o termo em n=0 é 0, mas o comportamento para grandes n é o que determina a divergência.)

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
(b) A série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4} diverge.

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