(2,0 pontos)
(a) Prove que se
converge, então
.
(b) Mostre que a série
diverge.
(a) Prove que se
(b) Mostre que a série
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
O enunciado tem duas partes:
- (a) Provar que se
converge, então . - (b) Mostrar que a série
diverge.
- (a) Provar que se
-
Informação implícita importante:
- Em (a) parte-se da hipótese de que a série
converge (ou seja, a sequência de somas parciais converge). - Em (b) a série tem termo geral
para .
- Em (a) parte-se da hipótese de que a série
Passo 2
Definições e ferramenta que vou usar (explicadas passo a passo).
- Definição de série e soma parcial: para uma sequência
, a série é a sequência de somas parciais
Dizemos que a série converge se a sequência
converge para algum número finito
, isto é,
.
-
Propriedade simples sobre limites de sequências (que vou usar): se
converge para , então a sequência deslocada também converge para . Isso porque remover ou atrasar um número finito de termos não muda o limite. -
Outra propriedade de limites que vou usar: se duas sequências
e convergem para e respectivamente, então a sequência das diferenças converge para .
Com isso pronto, posso demonstrar (a).
Passo 3
Prova de (a) — passo a passo e didático.
- Começo supondo que a série
converge. Então a sequência das somas parciais
converge para algum número finito
:
- Observe que o termo geral
pode ser escrito como diferença de somas parciais consecutivas:
para
. (Para
apenas
; isso não afeta o limite quando
.)
- Como
, pela propriedade do deslocamento também vale
- Aplicando a propriedade de limites às duas sequências, a sequência das diferenças converge para a diferença dos limites:
- Conclusão da parte (a): se
converge então . (Intuitivamente: os “passos” entre somas parciais ficam cada vez menores.)
Passo 4
Comentário didático extra (importante na prova): a condição
é necessária, mas não é suficiente para garantir convergência da série. Um exemplo clássico é a série harmônica
cujo termo geral tende a zero, mas a série diverge. Então, em exercícios, verificar apenas que os termos vão a zero não garante que a série converge; porém se os termos NÃO vão a zero, a série com certeza diverge.
Passo 5
Aplicando (a) para resolver (b): calcular o limite do termo geral e concluir.
- O termo geral da série dada é
- Para calcular
divido numerador e denominador por :
- Agora tomo limite quando
. Como , obtemos
Passo 6
Conclusão da parte (b) usando o resultado de (a).
- Pelo resultado de (a), se uma série
converge então . Aqui encontramos
- Portanto a série
não pode convergir; isto é, ela diverge. (Obs.: o termo em é , mas o comportamento para grandes é o que determina a divergência.)
Resposta
(a)
(b) A série
diverge.