Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -1(3 x^2-7 x-4)=6

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
limxto -1l(3x^2-7x-4r)=6
O conteúdo envolvido é a definição epsilon de<a de limite de função real.

Passo 2

Pela definição, precisamos mostrar que para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x+1|<de<a, então
l|,3x^2-7x-4-6r|<epsilon

Passo 3

Começamos simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
l|3x^2-7x-4-6r| =l|3x^2-7x-10r|
Fatorando o polinômio:
3x^2-7x-10=(x+1)(3x-10),
então
l|3x^2-7x-10r| =|x+1|;|3x-10|

Passo 4

Para controlar o fator |3x-10|, façamos a suposição auxiliar
|x+1|<1,
o que implica -2<x<0. Nessa faixa, 3x varia entre -6 e 0, logo
-16<= 3x-10<= -10 Longrightarrow |3x-10|<= 16
Assim, sempre que |x+1|<1, temos
l|3x^2-7x-10r| <= 16,|x+1|

Passo 5

Dado epsilon>0, escolha
de<a = minl1,tfracepsilon16r
Então, se 0<|x+1|<de<a, temos em particular |x+1|<1 e também
|3x^2-7x-4-6| =l|3x^2-7x-10r| <= 16,|x+1| <16,de<a<= epsilon
Isso verifica a condição da definição de limite.

Resposta

Para cada epsilon>0 basta tomar de<a=min1,epsilon/16. Então, sempre que 0<|x+1|<de<a, obtemos l|3x^2-7x-4-6r|<epsilon, provando que
limxto -1(3x^2-7x-4)=6

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