Prove usando indução:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo
vale a propriedade de divisibilidade
O conteúdo aqui é prova por indução em afirmação envolvendo potências e divisibilidade. Vamos verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução (
). Calculamos
logo
, pois o quociente é
. Portanto, a proposição é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
exista
tal que
isto é,
. Vamos mostrar que então
. Observe que
Como
é inteiro, concluímos que
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, a afirmativa
vale para todo
.