Prove usando indução:
7 mid(8^n-1), para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo n>=1 vale a propriedade de divisibilidade
7 mid l(8^n - 1r)
O conteúdo aqui é prova por indução em afirmação envolvendo potências e divisibilidade. Vamos verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Calculamos
8^1 - 1 = 8 - 1 = 7,
logo 7mid(8^1 -1), pois o quociente é 1. Portanto, a proposição é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum k>=1 exista minZ tal que
8^k - 1 = 7m,
isto é, 7mid(8^k -1). Vamos mostrar que então 7midl(8^k+1-1r). Observe que
8^k+1 - 1 = 8cdot 8^k - 1 = 8l(8^k -1r) + 7 = 8cdot (7m) + 7 = 7,(8m + 1)
Como 8m+1 é inteiro, concluímos que 7midl(8^k+1-1r).

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a afirmativa 7 mid (8^n - 1) vale para todo n >= 1.

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