Prove usando indução:
Para todo n >= 1
(1+1n)^n<e,
onde e approx 2,718 ldots é a base do logaritmo natural.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, por indução, que para todo n>=1 vale
l(1+tfrac1nr)^n < e,
onde iremos usar a definição de e como soma infinita, o Teorema do Binômio e uma indução auxiliar sobre k para comparar termos.

Passo 2

Lembrando que
e = sumk=0^infty 1k!,
é imediato que, para cada n,
sumk=0^n 1k! < e

Passo 3

Pelo Teorema do Binômio temos
l(1+tfrac1nr)^n = sumk=0^n binomnk,1n^k

Passo 4

O truque é provar por indução em k que, para 0<= k<= n,
binomnk,1n^k;<=;1k!
Base ( k=0):
binomn01n^0=1=10!
Passo indutivo: suponha que
binomnk-11n^,k-1<=1(k-1)!
Então
binomnk1n^k = binomnk-11n^,k-1 cdotn-k+1n,k <= 1(k-1)!cdot1k = 1k!,
fechando a indução em k.

Passo 5

Somando a desigualdade do passo anterior para k=0,1,dots,n obtemos
l(1+tfrac1nr)^n ;=;sumk=0^n binomnk1n^k ;<=;sumk=0^n 1k! ;<;e

Resposta

Para todo n>=1 vale
l(1+tfrac1nr)^n < e

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