Prove usando indução:
Para todo
onde
é a base do logaritmo natural.
Para todo
Passo 1
O enunciado nos pede para provar, por indução, que para todo
vale
onde iremos usar a definição de
como soma infinita, o Teorema do Binômio e uma indução auxiliar sobre
para comparar termos.
Passo 2
Lembrando que
é imediato que, para cada
,
Passo 3
Pelo Teorema do Binômio temos
Passo 4
O truque é provar por indução em
que, para
,
Base (
):
Passo indutivo: suponha que
Então
fechando a indução em
.
Passo 5
Somando a desigualdade do passo anterior para
obtemos
Resposta
Para todo
vale