Prove usando indução:
A soma dos cubos dos n primeiros números naturais é igual ao quadrado da soma dos n primeiros números naturais.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que a soma dos cubos dos n primeiros números naturais é igual ao quadrado da soma desses números, ou seja,
sumk=1^nk^3 = l(sumk=1^nkr)^2
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, e vamos precisar da fórmula já conhecida
sumk=1^nk = n(n+1)2

Passo 2

Verificamos a base da indução para n=1. De um lado,
sumk=1^1k^3 = 1^3 = 1,
e de outro,
l(sumk=1^1kr)^2 = (1)^2 = 1
Portanto a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Suponha, como hipótese de indução, que para algum n>=1 valha
sumk=1^nk^3 = l(sumk=1^nkr)^2
Queremos mostrar que dessa hipótese segue
sumk=1^n+1k^3 = l(sumk=1^n+1kr)^2

Passo 4

Começamos escrevendo
sumk=1^n+1k^3 = sumk=1^nk^3 + (n+1)^3
Pela hipótese de indução, sumk=1^nk^3 = l(sumk=1^nkr)^2. Logo,
sumk=1^n+1k^3 = l(sumk=1^nkr)^2 + (n+1)^3
Sabendo que sumk=1^nk = tfracn(n+1)2, temos
l(sumk=1^nkr)^2 = n^2(n+1)^24
Assim,
sumk=1^n+1k^3 = n^2(n+1)^24 + (n+1)^3 = n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^34 = (n+1)^2l(n^2 + 4(n+1)r)4
Expandindo n^2 + 4(n+1) = n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2, obtemos
sumk=1^n+1k^3 = (n+1)^2(n+2)^24 = l((n+1)(n+2)2r)^2 = l(sumk=1^n+1kr)^2
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Para todo ninN vale
sumk=1^nk^3 = l(sumk=1^nkr)^2

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