Prove usando indução:
A soma dos cubos dos
primeiros números naturais é igual ao quadrado da soma dos
primeiros números naturais.
A soma dos cubos dos
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que a soma dos cubos dos
primeiros números naturais é igual ao quadrado da soma desses números, ou seja,
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, e vamos precisar da fórmula já conhecida
Passo 2
Verificamos a base da indução para
. De um lado,
e de outro,
Portanto a igualdade vale para
.
Passo 3
Suponha, como hipótese de indução, que para algum
valha
Queremos mostrar que dessa hipótese segue
Passo 4
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução,
. Logo,
Sabendo que
, temos
Assim,
Expandindo
, obtemos
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Para todo
vale