Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para examinar, quanto à convergência, a série cujo termo geral é
isto é, a série
Informações dadas:
- O somatório é sobre
. - O termo geral da série é
.
A pergunta é: essa série converge ou diverge?
Passo 2
Teste fundamental (teste do termo geral): uma condição necessária para que uma série
converge é que o termo geral vá a zero quando
. Em forma matemática:
Portanto, se
(ou não existe, ou é infinito), a série diverge. Esse é o teste mais simples e geralmente o primeiro que devemos tentar: verificar se o termo geral tende a zero.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
quando
. Para entender o comportamento assintótico, é útil comparar graus polinomiais ou dividir numerador e denominador por uma potência de
. Vou mostrar que
cresce proporcionalmente a
, encontrando
.
Escrevemos
Agora dividimos numerador e denominador por
:
Tomando
os termos com potências negativas de
vão a zero, então
Passo 4
Interpretando o resultado do passo anterior: se
e sabendo que
, segue que
cresce como
. Em particular
O ponto crucial: o limite do termo geral não é zero (é infinito). Pelo teste do termo geral (Passo 2), isso já basta para concluir que a série não converge.
Passo 5
Conclusão didática e rápida: a série diverge porque o termo geral não tende a zero. Uma maneira intuitiva de ver isso é observar que para
grande
então estamos somando algo proporcional a
, que tende a infinito, logo a soma não pode convergir.
Resposta
A série diverge.