Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} \frac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{2}+8 n-2}.

Passo 1

O enunciado pede para examinar, quanto à convergência, a série cujo termo geral é
\frac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{2}+8 n-2},
isto é, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{2}+8 n-2}.
Informações dadas:
  • O somatório é sobre n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{2}+8 n-2}.
A pergunta é: essa série converge ou diverge?

Passo 2

Teste fundamental (teste do termo geral): uma condição necessária para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge é que o termo geral vá a zero quando n\to\infty. Em forma matemática:
\text{Se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Portanto, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe, ou é infinito), a série diverge. Esse é o teste mais simples e geralmente o primeiro que devemos tentar: verificar se o termo geral tende a zero.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral a_n quando n\to\infty. Para entender o comportamento assintótico, é útil comparar graus polinomiais ou dividir numerador e denominador por uma potência de n. Vou mostrar que a_n cresce proporcionalmente a n, encontrando \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}.
Escrevemos
\frac{a_n}{n}=\frac{3 n^{3}+2 n-1}{n\,(7 n^{2}+8 n-2)}=\frac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{3}+8 n^{2}-2n}.
Agora dividimos numerador e denominador por n^{3}:
\frac{a_n}{n}=\frac{3+\dfrac{2}{n^{2}}-\dfrac{1}{n^{3}}}{7+\dfrac{8}{n}-\dfrac{2}{n^{2}}}.
Tomando n\to\infty os termos com potências negativas de n vão a zero, então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\frac{3}{7}.

Passo 4

Interpretando o resultado do passo anterior: se \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{3}{7} e sabendo que n\to\infty, segue que a_n cresce como \dfrac{3}{7}n. Em particular
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{7}n + o(n)\right) = +\infty.
O ponto crucial: o limite do termo geral não é zero (é infinito). Pelo teste do termo geral (Passo 2), isso já basta para concluir que a série não converge.

Passo 5

Conclusão didática e rápida: a série diverge porque o termo geral não tende a zero. Uma maneira intuitiva de ver isso é observar que para n grande
\frac{3 n^{3}+2 n-1}{7 n^{2}+8 n-2}\approx \frac{3}{7}\,n,
então estamos somando algo proporcional a n, que tende a infinito, logo a soma não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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