Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} \frac{\sqrt{2 n+3}}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede que eu examine, quanto à convergência, a série cuja soma é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{2n+3}}{n+5}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{2n+3}}{n+5}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge1 (numerador e denominador positivos).
  • A pergunta é se a série converge ou diverge (síntese: testar convergência absoluta/condicional não é necessário aqui porque os termos são positivos).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com uma série-p (série do tipo \sum n^{-p}). Motivo: para grandes n a raiz no numerador cresce como \sqrt{n} e o denominador cresce como n, então o termo geral deve se comportar como n^{-1/2}. Séries-p têm comportamento simples e conhecido, então a comparação por limite é natural aqui.
Explicação didática do teste da comparação por limite:
  • Seja a_n e b_n sequências de termos positivos. Se existir L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se e somente se \sum b_n converge. Ou seja, quando o quociente tende a uma constante positiva, as séries têm o mesmo comportamento de convergência. Vou aplicar isso com b_n escolhida como uma série-p apropriada.

Passo 3

Lembrando a propriedade das séries-p:
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • No nosso caso, se o termo geral for assintoticamente equivalente a n^{-1/2} (ou a uma constante vezes n^{-1/2}), então corresponde a p=\tfrac{1}{2} e a série-p diverge porque \tfrac{1}{2}\le1.

Passo 4

Defino a_n=\dfrac{\sqrt{2n+3}}{n+5} e escolho b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2} (a série \sum b_n é a série-p com p=\tfrac{1}{2}, que diverge). Vou calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{2n+3}}{n+5}}{n^{-1/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n+3}\;\sqrt{n}}{n+5}.

Passo 5

Calculo detalhado do limite (passo a passo, sem pular etapas):
  • Escrevo o numerador dentro de uma única raiz: \sqrt{2n+3}\;\sqrt{n}=\sqrt{n(2n+3)}=\sqrt{2n^{2}+3n}.
  • Então L=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n^{2}+3n}}{n+5}.
  • Para obter o comportamento quando n\to\infty, fatoro n^{2} dentro da raiz e n no denominador: \sqrt{2n^{2}+3n}=n\sqrt{2+\frac{3}{n}}, \qquad n+5=n\left(1+\frac{5}{n}\right).
  • Substituindo: L=\lim_{n\to\infty}\frac{n\sqrt{2+\frac{3}{n}}}{n\left(1+\frac{5}{n}\right)} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2+\frac{3}{n}}}{1+\frac{5}{n}}.
  • Como \dfrac{3}{n}\to0 e \dfrac{5}{n}\to0 quando n\to\infty, temos L=\frac{\sqrt{2+0}}{1+0}=\sqrt{2}.
  • Observação: \sqrt{2} é uma constante positiva finita, logo 0<L<\infty.

Passo 6

Conclusão pelo teste da comparação por limite:
  • Como L=\sqrt{2}\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.
  • Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2} é divergente (série-p com p=\tfrac{1}{2}\le1), concluímos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n+3}}{n+5}também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n+3}}{n+5} diverge.

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