Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu examine, quanto à convergência, a série cuja soma é
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
(numerador e denominador positivos). - A pergunta é se a série converge ou diverge (síntese: testar convergência absoluta/condicional não é necessário aqui porque os termos são positivos).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com uma série-p (série do tipo
). Motivo: para grandes
a raiz no numerador cresce como
e o denominador cresce como
, então o termo geral deve se comportar como
. Séries-p têm comportamento simples e conhecido, então a comparação por limite é natural aqui.
Explicação didática do teste da comparação por limite:
- Seja
e sequências de termos positivos. Se existir com , então converge se e somente se converge. Ou seja, quando o quociente tende a uma constante positiva, as séries têm o mesmo comportamento de convergência. Vou aplicar isso com escolhida como uma série-p apropriada.
Passo 3
Lembrando a propriedade das séries-p:
- A série
converge se, e somente se, . - No nosso caso, se o termo geral for assintoticamente equivalente a
(ou a uma constante vezes ), então corresponde a e a série-p diverge porque .
Passo 4
Defino
e escolho
(a série
é a série-p com
, que diverge). Vou calcular o limite
Passo 5
Calculo detalhado do limite (passo a passo, sem pular etapas):
- Escrevo o numerador dentro de uma única raiz:
- Então
- Para obter o comportamento quando
, fatoro dentro da raiz e no denominador: - Substituindo:
- Como
e quando , temos - Observação:
é uma constante positiva finita, logo .
Passo 6
Conclusão pelo teste da comparação por limite:
- Como
, as séries e têm o mesmo comportamento de convergência. - Sabendo que
é divergente (série-p com ), concluímos que também diverge.
Resposta
A série
diverge.