Prove, utilizando a definição, que f(z)=\frac{1}{z} é contínua em \mathbb{C} \backslash\{0\}.

Passo 1

O enunciado pede: provar, usando a definição (epsilon–delta), que a função \displaystyle f(z)=\frac{1}{z} é contínua em \mathbb{C}\setminus\{0\}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C} dada por \displaystyle f(z)=\frac{1}{z}.
  • O domínio considerado é \mathbb{C}\setminus\{0\} (ou seja, todos os z complexos com z\neq0).
  • Pedido: provar que para todo ponto \displaystyle z_0\in\mathbb{C}\setminus\{0\} temos continuidade de f em z_0 pela definição: para todo \displaystyle \varepsilon>0 existe \displaystyle \delta>0 tal que se \displaystyle 0<|z-z_0|<\delta então \displaystyle \left|f(z)-f(z_0)\right|<\varepsilon.

Passo 2

Lembranças úteis (ferramentas que vamos usar) — explico com calma:
  • Definição de continuidade em z_0: dizer que f é contínua em z_0 significa exatamente que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\delta>0\\ \text{tal que se }0<|z-z_0|<\delta\text{ então }|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon.ã
Aqui |\cdot| é o módulo complexo (mesmo conceito de norma euclidiana em \mathbb{R}^2).
  • Propriedades do módulo que usaremos:
    1. Desigualdade triangular: |a+b|\le |a|+|b| para a,b\in\mathbb{C}.
    2. Desigualdade triangular reversa: \big||a|-|b|\big|\le |a-b|. Em particular, |a|\ge |b|-|a-b|.
    3. Para a\neq0, |1/a|=1/|a|.
      Essas propriedades são básicas e servem para transformar e estimar expressões envolvendo módulos.

Passo 3

Calcule a diferença que queremos controlar e escreva-a de forma útil:
\begin{aligned} \left|\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right| &= \left|\frac{z_0-z}{zz_0}\right| \\\ &= \frac{|z-z_0|}{|z|\,|z_0|}. \end{aligned}
Explicação das etapas: primeiro coloquei os termos sobre um denominador comum \,zz_0, depois apliquei a propriedade |a/b|=|a|/|b| para passar ao módulo.

Passo 4

Precisamos agora controlar o fator \displaystyle \frac{1}{|z|} para obter uma desigualdade do tipo \left|\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right|\le C\,|z-z_0| com uma constante C que dependa apenas de z_0 (e não de z). A ideia padrão: escolher \delta pequeno o suficiente para garantir que z não se aproxime de 0, isto é, manter |z| limitado abaixo por uma quantidade positiva.
Use a desigualdade triangular reversa com a=z e b=z_0:
|z|\ge |z_0|-|z-z_0|.
Se exigirmos que
|z-z_0|<\frac{|z_0|}{2},
então
|z|> |z_0|-\frac{|z_0|}{2}=\frac{|z_0|}{2}.
Ou seja, sob essa hipótese, |z| fica afastado de zero por pelo menos \displaystyle \frac{|z_0|}{2}. Isso é útil porque dá a estimativa
\frac{1}{|z|}\le \frac{2}{|z_0|}.

Passo 5

Com a estimativa anterior, voltamos à expressão do Passo 3:
\left|\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right| = \frac{|z-z_0|}{|z|\,|z_0|} \le \frac{|z-z_0|}{\left(\frac{|z_0|}{2}\right)|z_0|} = \frac{2|z-z_0|}{|z_0|^2},
desde que |z-z_0|<\frac{|z_0|}{2}. Portanto, sob essa condição, conseguimos uma desigualdade linear em |z-z_0| com constante \displaystyle \frac{2}{|z_0|^2}.

Passo 6

Agora fechamos o argumento epsilon–delta. Dado um \displaystyle \varepsilon>0 arbitrário, queremos garantir \left|\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right|<\varepsilon. A partir da estimativa do Passo 5, basta pedir
\frac{2|z-z_0|}{|z_0|^2}<\varepsilon,
ou seja
|z-z_0|<\frac{|z_0|^2}{2}\,\varepsilon.
Mas também precisamos manter |z-z_0|<\frac{|z_0|}{2} para assegurar a estimativa do Passo 4. Portanto escolhemos
\delta=\min\left(\frac{|z_0|}{2},\\ \frac{|z_0|^2}{2}\,\varepsilon\right).
Com esse \delta>0 temos: se 0<|z-z_0|<\delta então (i) |z-z_0|<\frac{|z_0|}{2} e portanto |z|>\frac{|z_0|}{2}; e (ii) |z-z_0|<\frac{|z_0|^2}{2}\varepsilon, o que combinado com a desigualdade do Passo 5 dá
\left|\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right|\le \frac{2|z-z_0|}{|z_0|^2}<\frac{2}{|z_0|^2}\cdot\frac{|z_0|^2}{2}\,\varepsilon=\varepsilon.
Assim, para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 que funciona, ou seja, f é contínua em z_0.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: como \displaystyle z_0\in\mathbb{C}\setminus\{0\} era um ponto arbitrário do domínio, mostramos que f é contínua em qualquer ponto do domínio. Portanto f é contínua em \mathbb{C}\setminus\{0\}. Estou torcendo por você — essa é a técnica padrão para funções racionais complexas: controlar o denominador afastando-se de zero e usar desigualdade linear em |z-z_0|.

Resposta

\displaystyle f(z)=\frac{1}{z} é contínua em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

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