Prove, utilizando integral definida
, que a área do círculo de raio
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a área de um círculo de raio
é
usando uma integral definida. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrando a função que representa a área de um quarto de círculo e depois multiplicando por 4 para obter a área total. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integral definida e entender como ela se aplica ao cálculo de áreas de figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que foi dada:
Essa integral representa a área de um quarto de círculo com raio
. A função
descreve a parte superior de um círculo centrado na origem. Ao integrar essa função de
até
, estamos calculando a área de um quarto de círculo. Ao multiplicar por 4, obtemos a área total do círculo inteiro.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer:
Substituindo na integral:
Sabemos que:
Então:
Voltando às variáveis originais, quando
,
e quando
,
:
Passo 4
Agora, lembrando que a área total do círculo é 4 vezes a área de um quarto de círculo, então:
Resposta
A área do círculo de raio
é
.