Prove, utilizando integral definida A0=4 integral0^r raizr^2-x^2 d x, que a área do círculo de raio r é dada por A0=pi r^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a área de um círculo de raio é usando uma integral definida. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrando a função que representa a área de um quarto de círculo e depois multiplicando por 4 para obter a área total. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integral definida e entender como ela se aplica ao cálculo de áreas de figuras geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que foi dada:
A0 = 4 integral0^r raizr^2 - x^2 , dx
Essa integral representa a área de um quarto de círculo com raio . A função descreve a parte superior de um círculo centrado na origem. Ao integrar essa função de até , estamos calculando a área de um quarto de círculo. Ao multiplicar por 4, obtemos a área total do círculo inteiro.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^r raizr^2 - x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer:
x = r sin theta Rightarrow dx = r cos theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral raizr^2 - r^2 sin^2 theta cdot r cos theta , dtheta = integral raizr^2(1 - sin^2 theta) cdot r cos theta , dtheta = integral raizr^2 cos^2 theta cdot r cos theta , dtheta = integral r cos theta cdot r cos theta , dtheta = r^2 integral cos^2 theta , dtheta
Sabemos que:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então:
r^2 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = r^22 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = r^22 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Voltando às variáveis originais, quando r^22 [ ( pi2 + sin pi2 ) - ( 0 + sin 02 ) ] = r^22 ( pi2 ) = pi r^24 , e quando , :

Passo 4

Agora, lembrando que a área total do círculo é 4 vezes a área de um quarto de círculo, então:
A0 = 4 times pi r^24 = pi r^2

Resposta

A área do círculo de raio é .

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