Para as próximas funções: Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
l) e^cos (x)

Passo 1

Na questão, temos a função f(x)=e^,cos x. O objetivo é descobrir em que intervalos ela cresce (isto é, f′>0) e em que intervalos ela decresce (f′<0). O conteúdo principal aqui é análise de monotonicidade usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f(x)=e^cos x. Usando a regra da cadeia, lembramos que a derivada de e^u em relação a x é e^u,u', e a derivada de cos x é -sin x. Portanto temos:
f'(x)=e^cos xcdot(-sin x)=-e^cos x,sin x

Passo 3

Agora, note que e^cos x>0 para todo x. Então o sinal de f'(x) depende apenas de -sin x. Assim:
  • f'(x)>0 exatamente quando -sin x)>0, ou seja, quando sin x<0.
  • f'(x)<0 exatamente quando -sin x)<0, ou seja, quando sin x>0.

Passo 4

Para achar esses intervalos, lembramos que sin x=0 em x=kpi, kinZ. A função sin x é positiva em (2kpi,,(2k+1)pi) e negativa em ((2k+1)pi,,(2k+2)pi), para todo k.

Passo 5

Portanto, concluímos: f é crescente quando sin x<0, isto é, em ((2k+1)pi,,(2k+2)pi); f é decrescente quando sin x>0, isto é, em (2kpi,,(2k+1)pi), para todo inteiro k.

Resposta

A função e^cos x é crescente em ((2k+1)pi,,(2k+2)pi) e decrescente em (2kpi,,(2k+1)pi), com kinZ.

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