Para cada uma das seguintes funções, encontre os valores máximo e mínimo absoluto nos intervalos indicados.
f(x)=x^3-x^2-8 x+1, [-2,2]

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3 - x^2 - 8x + 1 no intervalo [-2,2]. O conteúdo é determinação de extremos absolutos de uma função contínua em intervalo fechado. Para isso, vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos e avaliar f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para achar extremos absolutos em intervalo fechado, usamos o fato de que eles ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida) ou nas bordas. Assim, calculamos a derivada de f.
A derivada é
f'(x) = 3x^2 - 2x - 8
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
3x^2 - 2x - 8 = 0,
cuja discriminante é D = (-2)^2 - 4cdot3cdot(-8) = 100, gerando as soluções
x = 2 pm 106 ;Rightarrow; x = 2 e x = -tfrac43

Passo 3

Os pontos que precisamos avaliar são x=-2 e x=2 (as bordas) e x=-tfrac43 (o ponto crítico interno). Calculando:
f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 -8(-2) +1 = -8 -4 +16 +1 = 5,
fl(-tfrac43r) = l(-tfrac43r)^3 - l(-tfrac43r)^2 -8l(-tfrac43r) +1 = -tfrac6427 - tfrac169 + tfrac323 + 1 = tfrac20327,
f(2) = 2^3 - 2^2 -8cdot2 +1 = 8 -4 -16 +1 = -11

Passo 4

Comparando os valores de f nessas três posições, vemos que o maior valor ocorre em x=-tfrac43 e o menor em x=2.

Resposta

O máximo absoluto é f(-4/3)=tfrac20327 e o mínimo absoluto é f(2)=-11.

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