Prove que ao utilizarmos a transformada de Laplace no problema de valor inicial y^prime prime+4 y= g(t) ; y(0)=3, y^prime(0)=-1 obtemos a expressão
Y(s)=3 1s^2+4-12 2s1^2+4+12 2s^2+4 G(s)
e obtenha a solução deste PVI para os casos em que (a) g(t)=0; (b) g(t)=1; © g(t)=t e g(t)=de.

Passo 1

O problema é resolver a EDO de segunda ordem com valor inicial
y'' + 4y = g(t), y(0)=3,; y'(0)=-1
Usaremos transformada de Laplace e teorema da convolução para obter a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados temos
Ly'' + 4Ly = G(s)
Como
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s)
substituindo y(0)=3 e y'(0)=-1 obtemos
(s^2+4)Y(s) - 3s + 1 = G(s)
Logo
Y(s) = 3s-1s^2+4 + G(s)s^2+4
Reescrevendo em pedaços úteis,
Y(s)=3ss^2+4-122s^2+4+122s^2+4,G(s)

Passo 3

Invertendo cada termo:
L^-13ss^2+4=3cos2t, L^-12s^2+4=sin2t, L^-1G(s)s^2+4=(g*tfrac12sin2t)(t)
Assim a solução geral é
y(t)=3cos2t - tfrac12sin2t + tfrac12integral0^tsinl(2(t-u)r),g(u),du

Passo 4

Caso (a): g(t)=0. O termo convolução some e
y(t)=3cos2t - tfrac12sin2t

Passo 5

Caso (b): g(t)=1. Então
integral0^tsinl(2(t-u)r),du = integral0^tsin2u,du=1-cos2t2,
logo o pulo vale tfrac12cdottfrac1-cos2t2=tfrac1-cos2t4 e
y(t)=3cos2t - tfrac12sin2t + tfrac1-cos2t4 = 114cos2t - tfrac12sin2t + tfrac14

Passo 6

Caso (c1): g(t)=t. Calcule
I=integral0^tsinl(2(t-u)r),u,du =integral0^t(t-y)sin2y,dy =t2-sin2t4
Então o termo convolução é tfrac12I=tfract4-tfracsin2t8 e
y(t)=3cos2t + t4 - 58sin2t

Passo 7

Caso (c2): g(t)=de. A convolução com tfrac12sin2t gera
tfrac12sin2t,
então
y(t)=3cos2t - tfrac12sin2t + tfrac12sin2t = 3cos2t

Resposta

As soluções em cada caso são:
(a) g(t)=0 : y(t)=3cos2t - tfrac12sin2t.
(b) g(t)=1 : y(t)=114cos2t - tfrac12sin2t + tfrac14.
© g(t)=t : y(t)=3cos2t + tfract4 - tfrac58sin2t.
(d) g(t)=de : y(t)=3cos2t.

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