Prove que ao utilizarmos a transformada de Laplace no problema de valor inicial
obtemos a expressão
e obtenha a solução deste PVI para os casos em que (a)
; (b)
; ©
e
.
Passo 1
O problema é resolver a EDO de segunda ordem com valor inicial
Usaremos transformada de Laplace e teorema da convolução para obter a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Aplicando Laplace em ambos os lados temos
Como
substituindo
e
obtemos
Logo
Reescrevendo em pedaços úteis,
Passo 3
Invertendo cada termo:
Assim a solução geral é
Passo 4
Caso (a):
. O termo convolução some e
Passo 5
Caso (b):
. Então
logo o pulo vale
Passo 6
Caso (c1):
. Calcule
Então o termo convolução é
e
Passo 7
Caso (c2):
. A convolução com
gera
então
Resposta
As soluções em cada caso são:
(a) :
.
(b) :
.
© :
.
(d) :
.
(a)
(b)
©
(d)