Prove que são linearmente independentes se, e somente se, e o forem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente se, e somente se, o conjunto o for.
Lembrando a definição: um conjunto é linearmente independente se, sempre que
segue-se que .
Usaremos essa definição para provar ambas as implicações.
Passo 2
Suponha que
Sejam tais que
Substituindo , obtemos
Como é L.I., os coeficientes devem ser zero:
Somando as duas primeiras equações dá e . Logo é L.I.
Passo 3
Agora suponha que p1,p2,p3 seja linearmente independente e use as expressões dos pi para escrever vec u,vec v,vec w em função deles:
p1 + p2 = 2vec u, p1 + p3 = 2vec v, p2 + p3 = 2vec w
Logo
vec u = tfrac12(p1+p2), vec v = tfrac12(p1+p3), vec w = tfrac12(p2+p3)
Seja agora alpha,vec u + beta,vec v + gamma,vec w = vec0.
Substituindo essas expressões, obtemos uma combinação linear de p1,p2,p3 que só pode ser a trivial, pois eles são L.I. Logo alpha=beta=gamma=0, e vec u,vec v,vec w também é L.I.
Resposta
Concluímos que vec u+vec v-vec w,;vec u-vec v+vec w,;-vec u+vec v+vec w é linearmente independente se, e somente se, vec u,vec v,vec w o for.