Prove que u+v-w, u-v+w e-u+v+w são linearmente independentes se, e somente se, u, v e w o forem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
vec u+vec v-vec w,;vec u-vec v+vec w,;-vec u+vec v+vec w
é linearmente independente se, e somente se, o conjunto
vec u,vec v,vec w o for.
Lembrando a definição: um conjunto vec a1,dots,vec an é linearmente independente se, sempre que
alpha1vec a1 + cdots + alphanvec an = vec0,
segue-se que alpha1 = cdots = alphan = 0.
Usaremos essa definição para provar ambas as implicações.

Passo 2

Suponha que
Sejam tais que
Substituindo , obtemos
Como é L.I., os coeficientes devem ser zero:
Somando as duas primeiras equações dá e . Logo é L.I.

Passo 3

Agora suponha que p1,p2,p3 seja linearmente independente e use as expressões dos pi para escrever vec u,vec v,vec w em função deles:
p1 + p2 = 2vec u, p1 + p3 = 2vec v, p2 + p3 = 2vec w
Logo
vec u = tfrac12(p1+p2), vec v = tfrac12(p1+p3), vec w = tfrac12(p2+p3)
Seja agora
alpha,vec u + beta,vec v + gamma,vec w = vec0.
Substituindo essas expressões, obtemos uma combinação linear de p1,p2,p3 que só pode ser a trivial, pois eles são L.I. Logo alpha=beta=gamma=0, e vec u,vec v,vec w também é L.I.

Resposta

Concluímos que vec u+vec v-vec w,;vec u-vec v+vec w,;-vec u+vec v+vec w é linearmente independente se, e somente se, vec u,vec v,vec w o for.

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