Dado um triângulo de vértices A, B e C, cujas medianas são A M, B N e C P mostre que A M+B N+ C P=0.

Passo 1

Temos um triângulo de vértices A,B,C cujas medianas são AM, BN e CP. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar a fórmula do ponto médio em termos de vetores de posição para mostrar que
AM+BN+CP=0

Passo 2

Escolhemos um ponto-origem O arbitrário e denotamos
a=OA,
b=OB,
c=OC.
Então, se X é o ponto médio de YZ, vale
OX =OY+OZ2

Passo 3

Como M é o ponto médio de BC,
OM =b+c2
Analogamente,
ON =c+a2, OP =a+b2

Passo 4

Agora escrevemos cada mediana como diferença de vetores de posição:
AM =OM-OA =b+c2-a,
BN =ON-OB =c+a2-b,
CP =OP-OC =a+b2-c

Passo 5

Somando as três expressões, temos
AM+BN+CP =l(tfracb+c2-ar) +l(tfracc+a2-br) +l(tfraca+b2-cr)
No numerador juntamos termos semelhantes:
b+c+c+a+a+b2 -(a+b+c) =2(a+b+c)2 -(a+b+c) =a+b+c -(a+b+c) =0

Resposta

AM+BN+CP =0

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