Quando se diz que o campo elétrico do lado de fora de um condutor carregado é diferente de zero, pode-se afirmar que isto é uma consequência da Lei de Gauss para a eletricidade? Justifique com clareza sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “o campo elétrico do lado de fora de um condutor carregado é diferente de zero” pode ser considerada uma consequência da Lei de Gauss para a eletricidade.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Há um condutor carregado (isto é, existe carga elétrica em ou sobre o condutor).
- Quer-se saber se o fato de o campo elétrico fora do condutor ser diferente de zero decorre da Lei de Gauss.
Passo 2
Apresentar a Lei de Gauss e o que ela significa.
A forma integral da Lei de Gauss é
A forma integral da Lei de Gauss é
onde:
-
é o campo elétrico; -
é o vetor de área (módulo igual à área infinitesimal, direção normal à superfície ); -
indica integral de superfície fechada que envolve o volume ; -
é a carga elétrica total contida no interior da superfície fechada ; -
é a permissividade do vácuo.
Intuição física: o fluxo total de
através de uma superfície fechada é proporcional à carga encerrada por essa superfície. Se há carga dentro, deve haver fluxo (ou seja, componentes normais de
) saindo ou entrando da superfície.
Passo 3
Relembrar propriedades importantes de um condutor em equilíbrio eletrostático (essas propriedades não são a Lei de Gauss, mas são fatos físicos sobre condutores necessários para a conclusão):
- Em equilíbrio eletrostático os portadores de carga livres no condutor não se movem; isto só é possível se o campo elétrico dentro do material condutor for nulo. Logo:
- Um condutor em equilíbrio é um equipotencial (todo o volume condutor tem o mesmo potencial).
- Consequência combinada com a forma diferencial da Lei de Gauss,
: como no interior, tem-se dentro do volume do condutor. Assim, qualquer carga elétrica livre do condutor não pode ficar distribuída no volume: ela deve residir na superfície do condutor. Denotar por a densidade superficial de carga (carga por unidade de área) na superfície do condutor.
Passo 4
Demonstrar, usando a Lei de Gauss, que imediatamente fora da superfície do condutor o campo normal tem valor direto ligado a
. Construção padrão (argumento do “pillow” ou pílula):
- Considere um pequeno volume cilíndrico (pílula) atravessando a superfície do condutor: a base inferior está dentro do condutor, a base superior está no exterior, as faces laterais têm área muito pequena e seu fluxo tende a zero quando a espessura do pílula tende a zero. Seja
a área de cada base e a normal exterior à superfície. - O fluxo total através da pílula é, em boa aproximação,
mas
e o fluxo lateral
quando a espessura
. Logo
- A carga encerrada por essa pílula é a carga superficial naquela região:
. Aplicando a Lei de Gauss:
Cancelando
e tomando a componente normal (denotada
), obtemos a relação fundamental de contorno para condutores em eletrostática:
Isto mostra que a componente normal do campo imediatamente fora da superfície é proporcional à densidade superficial de carga. O sinal (direção) segue o sinal de
: se
o campo aponta para fora; se
aponta para dentro.
Passo 5
Interpretação e resposta direta à pergunta (com clareza sobre o que é consequência da Lei de Gauss e o que não é):
- O resultado
é derivado usando diretamente a Lei de Gauss aplicada a uma superfície que atravessa a superfície do condutor, em conjunto com a propriedade de que no interior do condutor (propriedade esta que vem das condições de equilíbrio eletrostático do condutor). Portanto, afirmar que o campo fora do condutor é diferente de zero quando o condutor está carregado é uma consequência da Lei de Gauss combinada com as propriedades de equilíbrio de um condutor. - Atenção: a Lei de Gauss sozinha (sem a informação adicional de que
dentro do condutor e de que a carga fica na superfície) não permite concluir por si só que o campo fora será diferente de zero; é a combinação de fatos (Gauss + E_interno=0 + carga superficial) que dá a conclusão e a expressão quantitativa. - Observações adicionais úteis para prova: se em alguma região da superfície localmente
, então localmente . Mas se o condutor tem carga total diferente de zero, deve haver alguma região da superfície com e, portanto, campos elétricos fora do condutor em pelo menos algumas direções.
Passo 6
Resumo didático final curto (para decorar): usando um “pílula” gaussiana que atravessa a superfície do condutor, a Lei de Gauss dá
logo quando há carga superficial (
) o campo elétrico imediatamente fora do condutor é diferente de zero. Isso é uma consequência da Lei de Gauss unida à propriedade de que
no interior do condutor em equilíbrio.
Resposta
Sim: a Lei de Gauss, combinada com a propriedade de que em equilíbrio eletrostático
no interior do condutor e que a carga reside na superfície, implica que a componente normal do campo fora do condutor é
, que é não nula sempre que
.