Encontre uma equacaj para o plano perpendicular ao vetor \widehat{A}=2 \hat{e}_{1}+3 \hat{e}_{2}+6 \hat{e}_{3} e que passa pelo ponto Q(1,5,3).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação para o plano que é perpendicular ao vetor \widehat{A}=2\hat{e}_{1}+3\hat{e}_{2}+6\hat{e}_{3} e que passa pelo ponto Q(1,5,3).
Informações dadas:
\widehat{A}=(2,3,6) (peguei isso do enunciado).
O ponto por onde o plano passa é Q=(1,5,3) (também dado no enunciado).
Não há mais informações no enunciado nem figura adicional. A partir dessas duas informações (vetor e ponto) conseguimos determinar a equação do plano único que satisfaz as condições.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): se um plano é perpendicular a um vetor, esse vetor é um vetor normal ao plano.
Isso significa que qualquer vetor contido no plano é ortogonal (perpendicular) a esse vetor normal.
Fórmula padrão (vou explicar cada símbolo): seja \mathbf{n}=(n_{1},n_{2},n_{3}) o vetor normal ao plano e seja P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) um ponto do plano. Se P=(x,y,z) é um ponto genérico do plano, então o vetor \overrightarrow{P_{0}P}=(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) está contido no plano. Como esse vetor é ortogonal a \mathbf{n}, o produto escalar entre eles é zero:
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_{0}P}=0.
Aqui o produto escalar é definido por
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3},
ou seja, multiplicamos componentes correspondentes e somamos.
A equação vetorial acima é a forma geral para obter a equação do plano a partir de um vetor normal e de um ponto.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o vetor normal é \mathbf{n}=\widehat{A}=(2,3,6) (peguei isso do enunciado) e o ponto P_{0}=Q=(1,5,3) (peguei também do enunciado). O vetor \overrightarrow{P_{0}P} é
\overrightarrow{Q P}=(x-1,\;y-5,\;z-3).
Usamos a condição do produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{Q P}=0.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar componente a componente:
(2,3,6)\cdot(x-1,y-5,z-3)=2(x-1)+3(y-5)+6(z-3).
Impondo que isso seja zero, obtemos a equação inicial do plano:
2(x-1)+3(y-5)+6(z-3)=0.

Passo 5

Expandindo e somando os termos constantes passo a passo:
2(x-1)=2x-2,
3(y-5)=3y-15,
6(z-3)=6z-18.
Somando tudo:
2x-2 + 3y-15 + 6z-18 = 0.
Combine os termos constantes: -2-15-18 = -35. Portanto:
2x+3y+6z-35=0.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo o ponto Q(1,5,3) na equação:
2\cdot1 + 3\cdot5 + 6\cdot3 -35 = 2 +15 +18 -35 = 0,
logo o ponto pertence ao plano — perfeito.
Também é claro que (2,3,6) é normal ao plano porque aparece como coeficientes de x,y,z na equação; isso é consistente com a construção que fizemos.

Resposta

2x+3y+6z-35=0

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