Prove que se
e
têm o mesmo comprimento, então
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois vetores
e
em um espaço com produto escalar, e que
Queremos provar que
e
são ortogonais, ou seja, que
Para isso, vamos usar a relação entre norma e produto escalar:
.
Passo 2
Da igualdade dos comprimentos segue a igualdade dos seus quadrados, isto é,
Passo 3
Expandindo cada lado pelo produto escalar, temos
Passo 4
Igualando as duas expressões:
as parcelas
e
cancelam, sobrando
Passo 5
Como o produto escalar
vale zero, concluímos que
e
são ortogonais.
Resposta
Demonstra-se que
, logo
e
são ortogonais.