Mostre que
é solução da equação e encontre a solução geral.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: $ x y’’ + y’ = 0 $. A questão quer que a gente mostre que $ y_{1} = \ln(x) $ é uma solução dessa equação e, além disso, encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre como verificar se uma função é solução e como encontrar a solução geral de equações lineares homogêneas.
Passo 2
Vamos começar mostrando que $ y_{1} = \ln(x) $ é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y_{1} $.
Primeiro, a derivada de $ y_{1} $:
Agora, a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos $ y_{1} $, $ y_{1}’ $ e $ y_{1}’’ $ na equação diferencial original:
Como a equação é satisfeita, isso mostra que $ y_{1} = \ln(x) $ é realmente uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial $ x y’’ + y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea. Sabemos que a solução geral de uma equação desse tipo é a combinação linear das soluções independentes.
Já temos uma solução particular, $ y_{1} = \ln(x) $. Para encontrar a segunda solução independente, podemos usar o método de redução de ordem. Suponhamos que a segunda solução seja da forma $ y_{2} = v(x) \cdot y_{1} $, onde $ v(x) $ é uma função a ser determinada.
Passo 5
Vamos aplicar o método de redução de ordem. Seja $ y_{2} = v(x) \cdot \ln(x) $. Vamos calcular as derivadas de $ y_{2} $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos $ y_{2} $, $ y_{2}’ $ e $ y_{2}’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Os termos $ \frac{v(x)}{x} $ se anulam:
Fatorando $ v’(x) $:
Assumimos que $ v’(x) \neq 0 $, então:
Simplificando:
Isso é uma equação diferencial para $ v’(x) $. Para simplificar, podemos fazer uma substituição: seja $ w = v’(x) $.
Passo 7
Agora, temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para $ w(x) $. Para resolvê-la, podemos usar o fator integrante.
A equação tem a forma:
onde $ P(x) = \frac{2 + \ln(x)}{x \ln(x)} $
O fator integrante é:
Passo 8
Vamos calcular o integrando:
Sabemos que $ \int \frac{1}{x \ln(x)} dx = \ln(\ln(x)) + C $, e $ \int \frac{1}{x} dx = \ln(x) + C $.
Então,
Passo 9
Multiplicando a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então,
Passo 10
Lembrando que $ w = v’(x) $, então:
Integrando novamente:
Substituindo $ C $ como constante arbitrária, podemos considerar a constante de integração nova. Assim,
Passo 11
Portanto, a segunda solução é:
Passo 12
Agora, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ x y’’ + y’ = 0 $ é
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.