Mostre que y1 é solução da equação e encontre a solução geral.
x y^prime prime+y^prime=0;
y1=ln (x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: $ x y’’ + y’ = 0 $. A questão quer que a gente mostre que $ y_{1} = \ln(x) $ é uma solução dessa equação e, além disso, encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre como verificar se uma função é solução e como encontrar a solução geral de equações lineares homogêneas.

Passo 2

Vamos começar mostrando que $ y_{1} = \ln(x) $ é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y_{1} $.
Primeiro, a derivada de $ y_{1} $:
y1 = ln(x)
Agora, a segunda derivada:
y1

Passo 3

Agora, substituímos $ y_{1} $, $ y_{1}’ $ e $ y_{1}’’ $ na equação diferencial original:
y1
Como a equação é satisfeita, isso mostra que $ y_{1} = \ln(x) $ é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial $ x y’’ + y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea. Sabemos que a solução geral de uma equação desse tipo é a combinação linear das soluções independentes.
Já temos uma solução particular, $ y_{1} = \ln(x) $. Para encontrar a segunda solução independente, podemos usar o método de redução de ordem. Suponhamos que a segunda solução seja da forma $ y_{2} = v(x) \cdot y_{1} $, onde $ v(x) $ é uma função a ser determinada.

Passo 5

Vamos aplicar o método de redução de ordem. Seja $ y_{2} = v(x) \cdot \ln(x) $. Vamos calcular as derivadas de $ y_{2} $:
Primeira derivada:
y2 = v(x) cdot ln(x)
Segunda derivada:
y2

Passo 6

Substituímos $ y_{2} $, $ y_{2}’ $ e $ y_{2}’’ $ na equação diferencial:
y2
Simplificando:
y2'
Os termos $ \frac{v(x)}{x} $ se anulam:
y2''
Fatorando $ v’(x) $:
x ( v''(x) ln(x) + 2 v'(x)x - v(x)x^2 ) + ( v'(x) ln(x) + v(x)x ) = 0
Assumimos que $ v’(x) \neq 0 $, então:
x v''(x) ln(x) + 2 v'(x) - v(x)x + v'(x) ln(x) + v(x)x = 0
Simplificando:
v(x)x
Isso é uma equação diferencial para $ v’(x) $. Para simplificar, podemos fazer uma substituição: seja $ w = v’(x) $.

Passo 7

Agora, temos:
x ln(x) w'(x) + (2 + ln(x)) w(x) = 0
Essa é uma equação linear de primeira ordem para $ w(x) $. Para resolvê-la, podemos usar o fator integrante.
A equação tem a forma:
w(x)
onde $ P(x) = \frac{2 + \ln(x)}{x \ln(x)} $
O fator integrante é:
w' + P(x) w = 0

Passo 8

Vamos calcular o integrando:
integral 2 + ln(x)x ln(x) dx = integral 2x ln(x) dx + integral 1x dx = 2 integral 1x ln(x) dx + integral 1x dx
Sabemos que $ \int \frac{1}{x \ln(x)} dx = \ln(\ln(x)) + C $, e $ \int \frac{1}{x} dx = \ln(x) + C $.
Então,
integral 1x ln(x) dx = ln(ln(x)) + C

Passo 9

Multiplicando a equação diferencial original pelo fator integrante:
(ln(x))^2 x cdot w' + (ln(x))^2 x cdot 2 + ln(x)x ln(x) w = 0
Isso simplifica para:
ddx [ (ln(x))^2 x w ] = 0
Integrando ambos os lados:
(ln(x))^2 x w = C
Então,
w = Cx (ln(x))^2

Passo 10

Lembrando que $ w = v’(x) $, então:
w = v'(x)
Integrando novamente:
v'(x) = Cx (ln(x))^2
Substituindo $ C $ como constante arbitrária, podemos considerar a constante de integração nova. Assim,
v(x) = integral Cx (ln(x))^2 dx

Passo 11

Portanto, a segunda solução é:
y2 = v(x) cdot ln(x) = ( -1ln(x) ) ln(x) = -1

Passo 12

Agora, a solução geral da equação diferencial é:
y = C1 y1 + C2 y2 = C1 ln(x) + C2 (-1) = C1 ln(x) + C2

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ x y’’ + y’ = 0 $ é
x y'' + y' = 0
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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