Sejam f1=e1-e2
& f2=2 e1-e2+2 e3 & f3=-e1+2 e3
(f1, f2, f3) é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o trio de vetores f1,f2,f3 em R^3 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, basta montar a matriz cujas colunas são as coordenadas desses vetores no sistema canônico (vec e1,vec e2,vec e3) e calcular seu determinante: se for diferente de zero, eles são LI; se for zero, são LD.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada vetor em relação à base canônica:
f1=1-10, f2=2-12, f3=-102
Assim a matriz A formada por essas colunas é
A= 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!-1 & 02 & 2 -2cdotdet!-1 & 00 & 2 +(-1)cdotdet!-1 & -10 & 2
Cada menor vale
det-1 & 02 & 2=-2,
det-1 & 00 & 2=-2,
det-1 & -10 & 2=-2.
Logo
det(A)=1cdot(-2)-2cdot(-2)+(-1)cdot(-2)=-2+4+2=4neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, concluímos que f1,f2,f3 são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (LI).

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