Prove que os vetores \mathrm{v} 1=(0,1,1), \mathrm{v} 2=(1,0,0) e \mathrm{v} 3=(0,-1,1) formam uma base ortogonal de R3. Obtenha uma base ortonormal a partir dessa base.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathrm{v}_1=(0,1,1), \mathrm{v}_2=(1,0,0) e \mathrm{v}_3=(0,-1,1). Pede duas coisas:
  1. Provar que esses três vetores formam uma base ortogonal de \mathbb{R}^3.
  2. A partir dessa base, obter uma base ortonormal.
    Informações relevantes dadas: os três vetores explícitos acima. Não há outras restrições.

Passo 2

Antes de calcular, vamos relembrar o que precisamos fazer (com calma e sem pular etapas). Definições e fórmulas que usaremos:
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
Aqui cada x_i e y_i são as componentes dos vetores.
  • Dois vetores são ortogonais quando o produto interno é zero: \langle x,y\rangle = 0.
  • Conjunto de vetores não-nulos e mutuamente ortogonais é linearmente independente. Em \mathbb{R}^3, três vetores linearmente independentes formam uma base.
  • Norma de um vetor x é \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}. Para obter uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal, normalizamos cada vetor dividindo-o pela sua norma:
u = \frac{x}{\|x\|}.

Passo 3

Vamos calcular os produtos internos pairwise para verificar ortogonalidade.
Calcule \langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2\rangle. Usando a fórmula do produto interno para \mathrm{v}_1=(0,1,1) e \mathrm{v}_2=(1,0,0),
\langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2\rangle = 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
Calcule \langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_3\rangle. Com \mathrm{v}_3=(0,-1,1),
\langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_3\rangle = 0\cdot 0 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = -1 + 1 = 0.
Calcule \langle \mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3\rangle:
\langle \mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot 1 = 0.
Concluímos que todos os produtos internos entre vetores distintos são zero, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 4

Verificar que nenhum dos vetores é o vetor nulo (necessário para concluir independência).
Calcule \|\mathrm{v}_1\|:
\|\mathrm{v}_1\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Calcule \|\mathrm{v}_2\|:
\|\mathrm{v}_2\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1.
Calcule \|\mathrm{v}_3\|:
\|\mathrm{v}_3\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Portanto todos têm norma positiva (não são o vetor zero).

Passo 5

Agora justificamos por que isso garante que \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3 formam uma base ortogonal. A afirmação chave:
Se um conjunto de vetores é mutuamente ortogonal e nenhum vetor é zero, então esse conjunto é linearmente independente.
Prova rápida (fácil de usar na prova): suponha que \alpha_1\mathrm{v}_1+\alpha_2\mathrm{v}_2+\alpha_3\mathrm{v}_3=0. Tomando produto interno desta igualdade com \mathrm{v}_1, temos
\alpha_1\langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_1\rangle + \alpha_2\langle \mathrm{v}_2,\mathrm{v}_1\rangle + \alpha_3\langle \mathrm{v}_3,\mathrm{v}_1\rangle = 0.
Como \langle \mathrm{v}_2,\mathrm{v}_1\rangle = \langle \mathrm{v}_3,\mathrm{v}_1\rangle = 0 e \langle \mathrm{v}_1,\mathrm{v}_1\rangle = \|\mathrm{v}_1\|^2 > 0, obtemos \alpha_1=0. Repetindo tomando produto interno com \mathrm{v}_2 e com \mathrm{v}_3 obtemos \alpha_2=0 e \alpha_3=0. Logo são linearmente independentes.
Como temos três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base. E por já serem mutuamente ortogonais, essa base é uma base ortogonal.

Passo 6

Agora obtemos uma base ortonormal a partir da base ortogonal: normalizamos cada vetor dividindo pela sua norma. Explicando o procedimento: para cada \mathrm{v}_i definimos
\mathrm{u}_i = \frac{\mathrm{v}_i}{\|\mathrm{v}_i\|}.
Cada \mathrm{u}_i terá norma 1 e permanecerá ortogonal aos outros, porque dividir por escalares positivos não altera a ortogonalidade.

Passo 7

Calcule as \mathrm{u}_i explicitamente.
Para \mathrm{v}_1 com \|\mathrm{v}_1\|=\sqrt{2},
\mathrm{u}_1 = \frac{\mathrm{v}_1}{\|\mathrm{v}_1\|} = \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Para \mathrm{v}_2 com \|\mathrm{v}_2\|=1,
\mathrm{u}_2 = \frac{\mathrm{v}_2}{\|\mathrm{v}_2\|} = (1,0,0).
Para \mathrm{v}_3 com \|\mathrm{v}_3\|=\sqrt{2},
\mathrm{u}_3 = \frac{\mathrm{v}_3}{\|\mathrm{v}_3\|} = \left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 8

Verificação rápida de que a base \{\mathrm{u}_1,\mathrm{u}_2,\mathrm{u}_3\} é ortonormal:
  • Normas:
\|\mathrm{u}_1\| = 1,\qquad \|\mathrm{u}_2\| = 1,\qquad \|\mathrm{u}_3\| = 1.
  • Produtos internos entre vetores distintos:
\langle \mathrm{u}_1,\mathrm{u}_2\rangle = 0,\qquad \langle \mathrm{u}_1,\mathrm{u}_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0,
\langle \mathrm{u}_2,\mathrm{u}_3\rangle = 0.
Portanto são mutuamente ortogonais e unitários, ou seja, ortonormais.

Resposta

Sim: \mathrm{v}_1=(0,1,1), \mathrm{v}_2=(1,0,0) e \mathrm{v}_3=(0,-1,1) formam uma base ortogonal de \mathbb{R}^3.\n
Uma base ortonormal obtida é \mathrm{u}_1=\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), \mathrm{u}_2=(1,0,0), \mathrm{u}_3=\left(0,-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

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