Prove que os vetores
e
formam uma base ortogonal de R3. Obtenha uma base ortonormal a partir dessa base.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
. Pede duas coisas:
- Provar que esses três vetores formam uma base ortogonal de
. - A partir dessa base, obter uma base ortonormal.
Informações relevantes dadas: os três vetores explícitos acima. Não há outras restrições.
Passo 2
Antes de calcular, vamos relembrar o que precisamos fazer (com calma e sem pular etapas). Definições e fórmulas que usaremos:
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
Aqui cada
e
são as componentes dos vetores.
-
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno é zero:
. -
Conjunto de vetores não-nulos e mutuamente ortogonais é linearmente independente. Em
, três vetores linearmente independentes formam uma base. -
Norma de um vetor
é . Para obter uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal, normalizamos cada vetor dividindo-o pela sua norma:
Passo 3
Vamos calcular os produtos internos pairwise para verificar ortogonalidade.
Calcule
. Usando a fórmula do produto interno para
e
,
Calcule
. Com
,
Calcule
:
Concluímos que todos os produtos internos entre vetores distintos são zero, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais.
Passo 4
Verificar que nenhum dos vetores é o vetor nulo (necessário para concluir independência).
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto todos têm norma positiva (não são o vetor zero).
Passo 5
Agora justificamos por que isso garante que
formam uma base ortogonal. A afirmação chave:
Se um conjunto de vetores é mutuamente ortogonal e nenhum vetor é zero, então esse conjunto é linearmente independente.
Prova rápida (fácil de usar na prova): suponha que
. Tomando produto interno desta igualdade com
, temos
Como
e
, obtemos
. Repetindo tomando produto interno com
e com
obtemos
e
. Logo são linearmente independentes.
Como temos três vetores linearmente independentes em
, eles formam uma base. E por já serem mutuamente ortogonais, essa base é uma base ortogonal.
Passo 6
Agora obtemos uma base ortonormal a partir da base ortogonal: normalizamos cada vetor dividindo pela sua norma. Explicando o procedimento: para cada
definimos
Cada
terá norma
e permanecerá ortogonal aos outros, porque dividir por escalares positivos não altera a ortogonalidade.
Passo 7
Calcule as
explicitamente.
Para
com
,
Para
com
,
Para
com
,
Passo 8
Verificação rápida de que a base
é ortonormal:
- Normas:
- Produtos internos entre vetores distintos:
Portanto são mutuamente ortogonais e unitários, ou seja, ortonormais.
Resposta
Sim:
,
e
formam uma base ortogonal de
.\n
Uma base ortonormal obtida é ,
,
.
Uma base ortonormal obtida é