Questão 8. Determinar a taxa anual equivalente a 3,5 \% ao mês.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a taxa anual equivalente a 3,5\% ao mês.”\n
Informações dadas:
  • A taxa mensal é \;i_{m}=3,5\%\;=\;0,035.
  • Queremos a taxa anual equivalente \;i_{a}\; que produza o mesmo crescimento em um ano (12 meses).\n
    Pergunta a responder: calcular o valor de \;i_{a}\; (em percentual) correspondente a \;3,5\% ao mês.

Passo 2

Conceito básico e fórmula usada (a ideia chave): quando uma taxa \;i_{m}\; é aplicada mensalmente e é composta mês a mês, o fator de crescimento em um mês é (1+i_{m}). Em 12 meses o fator de crescimento é (1+i_{m})^{12}. A taxa anual equivalente \;i_{a}\; é a taxa única que produz esse mesmo fator em um ano, ou seja:
1+i_{a}=(1+i_{m})^{12}
Explicando as variáveis:
  • \;i_{m}\; é a taxa efetiva por mês (decimal: por ex. 0,035 para 3,5\%).
  • \;i_{a}\; é a taxa efetiva por ano (decimal).
  • O expoente 12 aparece porque um ano tem 12 meses e os juros se capitalizam mês a mês.

Passo 3

Substituímos \;i_{m}=0,035 na fórmula:
1+i_{a}=(1+0,035)^{12}=(1,035)^{12}.
Agora precisamos calcular (1,035)^{12}. Vamos fazer isso multiplicando mês a mês (ou usando potências sucessivas) para acompanhar passo a passo e entender como chega-se ao resultado. Começamos com:
(1,035)^1=1,035.
Multiplicando sucessivamente por 1,035:
(1,035)^2=1,071225,
(1,035)^3=1,108717875,
(1,035)^4=1,147522000625,
(1,035)^5=1,187685270646875,
(1,035)^6=1,229253270646875,
(1,035)^7=1,2722771351195156,
(1,035)^8=1,3168068358486986,
(1,035)^9=1,362895075103403,
(1,035)^{10}=1,4105964027320222,
(1,035)^{11}=1,459967276827643,
(1,035)^{12}=1,5110661315166105.

Passo 4

Agora encontramos \;i_{a}\; subtraindo 1 do fator anual:
i_{a}=1,5110661315166105-1=0,5110661315166105.
Convertendo para porcentagem (multiplicando por 100\%):
i_{a}=51,10661315166105\%.
Em prova normalmente arredondamos de forma razoável. Arredondando para duas casas decimais:
i_{a}\approx 51,11\%.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (para você ganhar confiança): se você fizesse apenas a aproximação linear 3,5\%\times 12=42\% estaria subestimando, porque a capitalização mês a mês faz os juros “gerarem juros” — por isso o valor efetivo anual é bem maior, aqui cerca de 51,11\%. Esse contraste é uma boa forma de checar se a resposta faz sentido.

Resposta

51,11\%

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