Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integralS integral F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x^3, 2 x z^2, 3 y^2 z) e S é a superfície do sólido limitado pelo parabolóide z=9-x^2-y^2 e pelo plano XY.

Passo 1

A questão dá o campo vetorial vec F(x,y,z)=(x^3,,2xz^2,,3y^2z) e pede o fluxo de vec F através da superfície fechada S que envolve o sólido limitado pelo paraboloide z=9-x^2-y^2 e pelo plano z=0. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar a integral de superfície fechada por uma integral tripla do divergente de vec F sobre o volume interno.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, lembramos que
integral duplaS vec Fcdot d S=integral triplaV(nablacdotvec F),dV
Precisamos então calcular o divergente:
nablacdotvec F=partialpartial x(x^3)+partialpartial y(2xz^2)+partialpartial z(3y^2z)=3x^2+0+3y^2=3(x^2+y^2)
O volume V é dado por
0<= z<= 9-r^2, 0<= r<= 3, 0<= theta<= 2pi,
quando usamos coordenadas cilíndricas (r,theta,z). Em cilíndricas, x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. Assim a integral tripla fica
integral triplaV3(x^2+y^2),dV=3integral0^2piintegral0^3integral0^9-r^2r^2,(r,dz,dr,dtheta)

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^9-r^2r^3,dz=r^3l[zr]0^9-r^2=r^3(9-r^2)
Então a integral reduz a
3integral0^2pidthetaintegral0^3r^3(9-r^2),dr
Agora calculamos a integral em r:
integral0^3(9r^3-r^5),dr=9r^44|0^3-r^66|0^3=9cdot814-7296=7294-7296=72912=2434
Multiplicando por 3 e pela integral em theta que é 2pi, temos
3times2pitimes2434=1458pi4=729pi2

Passo 4

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F através de S é dfrac729pi2.

Resposta

729pi2

Exercícios relacionados