Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , onde e é a superfície do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .
Passo 1
A questão dá o campo vetorial e pede o fluxo de através da superfície fechada que envolve o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar a integral de superfície fechada por uma integral tripla do divergente de sobre o volume interno.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Divergência, lembramos que
Precisamos então calcular o divergente:
O volume é dado por
quando usamos coordenadas cilíndricas . Em cilíndricas, e . Assim a integral tripla fica
Passo 3
Primeiro integramos em :
Então a integral reduz a
Agora calculamos a integral em :
Multiplicando por 3 e pela integral em theta que é 2pi, temos
3times2pitimes2434=1458pi4=729pi2
Passo 4
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F através de S é dfrac729pi2.