Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x+y, y-x, x z)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial vec F(x,y,z) = (x+y,,y-x,,xz). Vamos calcular o rotacional ( nabla times vec F), o divergente ( nabla cdot vec F) e verificar se o campo é conservativo.

Passo 2

Para calcular o rotacional usamos a definição
nabla times vec F = l(partial Rpartial y - partial Qpartial z,,partial Ppartial z - partial Rpartial x,,partial Qpartial x - partial Ppartial yr),
onde P=x+y, Q=y-x e R=xz.
Calculando as derivadas parciais:
nabla times vec F = (0 - 0,,0 - z,,-1 - 1) = (0,,-z,,-2) ,
,
.
Substituindo na fórmula, obtemos

Passo 3

Para o divergente usamos a definição
nabla cdot vec F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Como partial Ppartial x = 1, partial Qpartial y = 1 e partial Rpartial z = x, segue
nabla cdot vec F = 1 + 1 + x = x + 2

Passo 4

Para verificar se vec F é conservativo lembramos que em um domínio simplesmente conexo basta ter nabla times vec F = vec 0. Como obtivemos (0,-z,-2) neq (0,0,0), o campo não é conservativo.

Resposta

Rotacional: nabla times vec F = (0,,-z,,-2). Divergente: nabla cdot vec F = x + 2. O campo não é conservativo.

Exercícios relacionados