Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
. Vamos calcular o rotacional (
), o divergente (
) e verificar se o campo é conservativo.
Passo 2
Para calcular o rotacional usamos a definição
onde
,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
,
,
.
Substituindo na fórmula, obtemos
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula, obtemos
Passo 3
Para o divergente usamos a definição
Como
,
e
, segue
Passo 4
Para verificar se
é conservativo lembramos que em um domínio simplesmente conexo basta ter
. Como obtivemos
, o campo não é conservativo.
Resposta
Rotacional:
. Divergente:
. O campo não é conservativo.