Prove via varepsilon s e de s que:
A função f(x)=x^2 é uma função contínua em p=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função f(x)=x^2 é contínua em p=0 usando a definição varepsilon- de. Vamos usar a ideia de que, para todo varepsilon>0, precisamos encontrar de0 tal que sempre que |x-0| tenhamos |f(x)-f(0)|.

Passo 2

Definição de continuidade em um ponto: dizemos que f é contínua em p=0 se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que |x-0|, então |f(x)-f(0)|. Em símbolos:
forall,varepsilon>0 exists,de0: |x-0|

Passo 3

Calcular a diferença de valores da função em x e em 0:
|f(x)-f(0)|=|x^2-0|=|x|^2
Para assegurar |x|^2, basta garantir |x|. Assim, podemos escolher
de

Passo 4

Verificação final: suponha varepsilon>0 dado e defina de. Se |x-0|, então
|f(x)-f(0)|=|x|^2
Logo, a condição da definição de continuidade é satisfeita.

Passo 5

Portanto, encontramos para cada varepsilon>0 um de0 que garante |f(x)-f(0)| sempre que |x|. Isso prova que f(x)=x^2 é contínua em 0.

Resposta

Escolhendo de, fica claro que se |x| então |f(x)-f(0)|=|x|^2. Logo, f(x)=x^2 é contínua em p=0.

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