Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
O enunciado pede para a gente calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial e dizer se ele é conservativo. O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar o operador nabla () e as definições de divergente, rotacional e o critério de campo conservativo em .
Passo 2
Para o divergente, lembramos que . Aqui , e . Então:
Passo 3
Para o rotacional, a definição em componentes é dado pelo determinante
Calculando cada componente, percebemos que todas as derivadas mistas de x,y,z são constantes ou zero, logo nablatimesvec F=(0,0,0)
Passo 4
Como o rotacional se anula em todo R^3, que é um domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo (teorema de que nablatimesvec F=0 implica conservatividade). Podemos até exibir um potencial: phi(x,y,z)=tfracx^22+tfracy^22+tfracz^22.
Resposta
Rotacional = (0,0,0), Divergente = 3, e o campo é conservativo.