Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial vec F(x,y,z)=(x,y,z) e dizer se ele é conservativo. O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar o operador nabla ( nabla) e as definições de divergente, rotacional e o critério de campo conservativo em R^3.

Passo 2

Para o divergente, lembramos que div,vec F=nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z. Aqui F1=x, F2=y e F3=z. Então:
div,vec F=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3

Passo 3

Para o rotacional, a definição em componentes é curl,vec F=nablatimesvec F dado pelo determinante
nablatimesvec F=i&j&k[3pt]partialpartial x&partialpartial y&partialpartial z[3pt]x&y&z
Calculando cada componente, percebemos que todas as derivadas mistas de x,y,z são constantes ou zero, logo
nablatimesvec F=(0,0,0)

Passo 4

Como o rotacional se anula em todo R^3, que é um domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo (teorema de que nablatimesvec F=0 implica conservatividade). Podemos até exibir um potencial: phi(x,y,z)=tfracx^22+tfracy^22+tfracz^22.

Resposta

Rotacional = (0,0,0), Divergente = 3, e o campo é conservativo.

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