1. Determine quais dentre os números 1 / m, 2 \leq m \leq 10, pertencem ao conjunto de Cantor.

Passo 1

O enunciado pede para cada m=2,3,\dots,10 verificar se \tfrac{1}{m} pertence ao conjunto de Cantor.
Conteúdo: um número x\in[0,1] está no conjunto de Cantor se e só se existe alguma expansão de x em base 3 que use apenas os dígitos 0 e 2 (isto inclui a possibilidade de usar a expansão alternativa que termina em infinitos 2’s).

Passo 2

Critério prático: para cada \tfrac1m calculamos sua expansão em base 3 (pelo algoritmo de multiplicar por 3 e anotar a parte inteira). Se em todas as casas aparecer somente 0 ou 2, então \tfrac1m está em Cantor; se aparecer algum 1 em toda expansão possível, então não está.

Passo 3

Calculemos \tfrac12 e \tfrac13.
\frac12=0.11111\ldots_3
tem todos os dígitos iguais a 1, logo não cabe só 0 e 2, então \tfrac12\notin C.
\frac13=0.1_3=0.02222\ldots_3
a expansão usual tem um 1, mas a expansão alternativa 0.02222\ldots_3 usa apenas 0 e 2. Logo \tfrac13\in C.

Passo 4

Para \tfrac14 aplica-se o algoritmo:
\frac14=0.020202\ldots_3=\overline{02}_3
a repetição é só dos dígitos 0 e 2, então \tfrac14\in C.

Passo 5

Para \tfrac15,\tfrac16,\tfrac17,\tfrac18 obtém-se (pela repetição do multiplicar-por-3) expansões periódicas que contêm o dígito 1 em todas as possíveis representações. Por exemplo,
\frac15=0.01210\;01210\ldots_3,\quad \frac18=0.010101\ldots_3,
em ambas aparece o 1 de forma inevitável. Logo
\tfrac15,\tfrac16,\tfrac17,\tfrac18\notin C.

Passo 6

Para \tfrac19 a expansão termina:
\frac19=0.01_3
mas admite a forma alternativa
0.00222\ldots_3
usando só 0 e 2. Logo \tfrac19\in C.

Passo 7

Por fim,
\frac{1}{10}=0.00220022\ldots_3=\overline{0022}_3,
que usa apenas os dígitos 0 e 2. Portanto \tfrac{1}{10}\in C.

Resposta

As frações que pertencem ao conjunto de Cantor são
\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{9},\;\tfrac{1}{10}.

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