1. Mostre que a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \log n} diverge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}
diverge.
O conteúdo principal é teste da integral para séries positivas. Para aplicá-lo, vamos comparar a soma com a integral imprópria da função
f(x)=\frac{1}{x\log x},\quad x\ge2.

Passo 2

Verificamos que f(x) satisfaz as hipóteses do teste da integral:
  1. f(x)>0 para x\ge2 porque x>0 e \log x>0.
  2. f(x) é contínua em [2,\infty) (já que \log x\neq0 para x\ge2).
  3. f(x) é decrescente em [2,\infty). De fato,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}(\log x)^{-1}\bigr) =-\frac{1+\log x}{x^2(\log x)^2}<0 \quad\text{para }x>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral: consideramos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\log x}.
Fazemos a mudança de variável u=\log x, du=dx/x. Quando x=2, u=\log2; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\log x} =\int_{\log2}^{\infty}\frac{du}{u} =\bigl[\log u\bigr]_{\log2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\log U-\log(\log2) =+\infty.
Como a integral diverge, o teste da integral implica que a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n} diverge.

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