- Mostre que a série
diverge.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
diverge.
O conteúdo principal é teste da integral para séries positivas. Para aplicá-lo, vamos comparar a soma com a integral imprópria da função
O conteúdo principal é teste da integral para séries positivas. Para aplicá-lo, vamos comparar a soma com a integral imprópria da função
Passo 2
Verificamos que
satisfaz as hipóteses do teste da integral:
-
para porque e . -
é contínua em (já que para ). -
é decrescente em . De fato,
Passo 3
Aplicamos o teste da integral: consideramos
Fazemos a mudança de variável
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Como a integral diverge, o teste da integral implica que a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.