1. Sejam X, Y conjuntos não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem x_{0} \in X, y_{0} \in Y tais que \left|x_{0}-y_{0}\right| \leq|x-y| para quaisquer x \in X, y \in Y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o “menor” valor de \bigl|x-y\bigr|, com x\in X e y\in Y, é de fato atingido por algum par (x_{0},y_{0}). Aqui usamos conceitos de distância em \mathbb{R}, infimum de conjuntos, sequência que aproxima o infimum, compacidade em \mathbb{R} (Bolzano–Weierstrass) e o fato de fecho de conjunto em \mathbb{R} ser completo (limites de sequências convergentes pertencem ao conjunto).

Passo 2

Definimos
d = \inf\bigl\{\lvert x - y\rvert : x\in X,\;y\in Y\bigr\}.
Pela definição de infimum, existe uma sequência \bigl(x_{n},y_{n}\bigr) em X\times Y tal que
\lvert x_{n}-y_{n}\rvert \;\longrightarrow\; d\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 3

Como X é compacto em \mathbb{R}, a sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset X tem uma subsequência convergente. Ou seja, existe \bigl(x_{n_k}\bigr) tal que
x_{n_k}\;\longrightarrow\; x_{0}\quad\text{com }x_{0}\in X.

Passo 4

Mostramos que a correspondente subsequência \bigl(y_{n_k}\bigr)\subset Y é limitada. De fato, para todo k,
\lvert y_{n_k}\rvert \;\le\;\lvert x_{n_k}\rvert + \lvert x_{n_k}-y_{n_k}\rvert \;\le\; \sup_{x\in X}\lvert x\rvert \;+\;\lvert x_{n_k}-y_{n_k}\rvert.
Como \lvert x_{n_k}-y_{n_k}\rvert\to d e \sup_{x\in X}\lvert x\rvert<\infty, a sequência \bigl(y_{n_k}\bigr) é limitada. Logo ela tem, por Bolzano–Weierstrass em \mathbb{R}, uma subsequência convergente \bigl(y_{n_{k_j}}\bigr)\to y_{0}. Como Y é fechado, o limite y_{0} pertence a Y.

Passo 5

Pela continuidade da função (x,y)\mapsto \lvert x-y\rvert, temos
\lvert x_{0}-y_{0}\rvert = \lim_{j\to\infty}\lvert x_{n_{k_j}}-y_{n_{k_j}}\rvert = d.
Ou seja, o infimum d é de fato um mínimo, atingido em (x_{0},y_{0}).

Passo 6

Como d=\inf\{\lvert x-y\rvert\} é menor ou igual a qualquer \lvert x-y\rvert, concluímos que para esses x_{0}\in X e y_{0}\in Y vale
\lvert x_{0}-y_{0}\rvert \;\le\;\lvert x-y\rvert \quad\text{para todo }x\in X,\;y\in Y.

Resposta

Existem x_{0}\in X e y_{0}\in Y tais que
\lvert x_{0}-y_{0}\rvert = \min_{x\in X,y\in Y}\lvert x-y\rvert,
logo \lvert x_{0}-y_{0}\rvert\le\lvert x-y\rvert para quaisquer x\in X e y\in Y.

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