Sejam X, Y conjuntos não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem x_{0} \in X, y_{0} \in Y tais que \left|x_{0}-y_{0}\right| \leq|x-y| para quaisquer x \in X, y \in Y.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o “menor” valor de \bigl|x-y\bigr|, com x\in X e y\in Y, é de fato atingido por algum par (x_{0},y_{0}). Aqui usamos conceitos de distância em \mathbb{R}, infimum de conjuntos, sequência que aproxima o infimum, compacidade em \mathbb{R} (Bolzano–Weierstrass) e o fato de fecho de conjunto em \mathbb{R} ser completo (limites de sequências convergentes pertencem ao conjunto).
Passo 2
Definimos
d = \inf\bigl\{\lvert x - y\rvert : x\in X,\;y\in Y\bigr\}.
Pela definição de infimum, existe uma sequência \bigl(x_{n},y_{n}\bigr) em X\times Y tal que
Como \lvert x_{n_k}-y_{n_k}\rvert\to d e \sup_{x\in X}\lvert x\rvert<\infty, a sequência \bigl(y_{n_k}\bigr) é limitada. Logo ela tem, por Bolzano–Weierstrass em \mathbb{R}, uma subsequência convergente \bigl(y_{n_{k_j}}\bigr)\to y_{0}. Como Y é fechado, o limite y_{0} pertence a Y.
Passo 5
Pela continuidade da função (x,y)\mapsto \lvert x-y\rvert, temos
\lvert x_{0}-y_{0}\rvert = \lim_{j\to\infty}\lvert x_{n_{k_j}}-y_{n_{k_j}}\rvert = d.
Ou seja, o infimum d é de fato um mínimo, atingido em (x_{0},y_{0}).
Passo 6
Como d=\inf\{\lvert x-y\rvert\} é menor ou igual a qualquer \lvert x-y\rvert, concluímos que para esses x_{0}\in X e y_{0}\in Y vale
\lvert x_{0}-y_{0}\rvert \;\le\;\lvert x-y\rvert \quad\text{para todo }x\in X,\;y\in Y.