Prove que se x^{n}=y^{n} e n é ímpar, então x=y.

Passo 1

O enunciado dá que \;x^{n}=y^{n}\; e que n é um inteiro ímpar. O que precisamos provar é que \;x=y\;. Vou assumir que x e y são números reais (se o domínio for complexo a afirmação não é verdadeira sem hipóteses extras). Informações relevantes fornecidas:
  • \;x^{n}=y^{n}\;.
  • n é ímpar (isto é, n=2k+1 para algum inteiro k).
    O objetivo: mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente \;x=y.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada de forma simples): considerar a função f(t)=t^{n}. Vou usar o Teorema do Valor Médio (uma ferramenta do cálculo) para mostrar que f é injetora quando n é ímpar — isto é, se f(x)=f(y) então x=y. Antes de aplicar o teorema, explico-o rapidamente e por que vale para f.
Teorema do Valor Médio (versão informal e útil aqui): se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
No nosso caso, f(t)=t^{n} é uma função polinomial, logo é contínua e derivável em todo \mathbb{R}. A derivada é
f'(t)=n\,t^{\,n-1}.
Observe que, sendo n ímpar, n-1 é par, portanto t^{\,n-1}\ge 0 para todo t, e t^{\,n-1}=0 só se t=0. Assim f'(t)=0 ocorre somente em t=0.

Passo 3

Agora aplico o argumento padrão por contradição: suponha que x\neq y. Sem perda de generalidade, passe a chamar a=\min\{x,y\} e b=\max\{x,y\}, então a<b. Aplicando o Teorema do Valor Médio à função f no intervalo [a,b] existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}.
Mas pela hipótese x^{n}=y^{n} temos b^{n}-a^{n}=0. Então o quociente é zero e segue que
f'\text{(c)}=0.

Passo 4

Do cálculo de f' no Passo 2 sabemos que f'(t)=0 só pode ocorrer em t=0. Portanto c=0. Assim 0\in(a,b), ou seja, a<0<b. Em palavras: se existisse x\neq y com x^{n}=y^{n}, então entre x e y deveria existir o ponto 0.

Passo 5

Mas isso leva a uma contradição com a hipótese x^{n}=y^{n}. De fato, se a<0<b e n é ímpar, então a^{n}<0 e b^{n}>0 (porque potências ímpares preservam o sinal). Logo a^{n}\neq b^{n}, contradizendo x^{n}=y^{n}. A contradição veio da suposição x\neq y. Portanto essa suposição é falsa e devemos ter x=y.

Passo 6

Resumo do raciocínio em poucas linhas: aplicou-se o Teorema do Valor Médio a f(t)=t^{n}. Se x\neq y então existe c entre x e y com f'\text{(c)}=0; mas f'(t)=n t^{n-1} anula-se só em t=0, o que exigiria que x e y estivessem em lados opostos de zero, e aí x^{n} e y^{n} teriam sinais opostos (pois n é ímpar), não podendo ser iguais. Logo x=y.

Resposta

\;x=y\;

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